재밌는 문제 풀이를 통한 연역법과 귀납법 증명

유명한 문제인데 풀이는 제 나름대로 다시 해봤습니다. 제가 문제를 하나 낼 테니 정답을 보지 마시고 한 번 풀어보시기 바랍니다.

 

1. 문제

 

세 친구가 구멍가게에 갔습니다.

300원짜리 물건을 각자 100원씩 내서 샀습니다.

가게 주인이 그날따라 기분이 좋아서 50원을 깎아주며 아르바이트생을 시켜

손님들에게 전해주라며 주었습니다.

그러자 그 아르바이트생이 20원을 슬쩍하고는 30원만을 그 친구들에게

전해주었습니다.

기쁜 마음으로 그들은 각자 10원씩 나눠가졌습니다.

 

그렇다면 여기서 문제입니다.

100원씩 내고 10원을 돌려받았다면 결국 90원을 낸 것입니다.

90 X 3 = 270원

그리고 아르바이트생이 슬쩍한 20원

270 + 20 = 290원

도대체 10원은 어디에 간 것일까요?

 

[정답은 이미지 아래쪽에 있습니다]

 

 

2. 해답

 

이 문제는 제가 빡빡머리 고등학생 때 듣고 못 풀어서 고민하다가 한참 동안 고생 한 후에 풀어낸 문제입니다. 알고 보면 별 것도 아닌데 혼동하기 쉬운 문제입니다.

 

제가 찾아낸 정답은 이렇습니다.

해답을 알기 전에 우선 연역법과 귀납법에 대해 알고 넘어갈 필요가 있습니다.

 

'연역법'이란 대전제로부터 소전제를 매개로 하여 대전제의 개념 속에 포함되어 있는 결론을 논리적으로 이끌어 내는 방법입니다. '연역법'에 의해서 얻어진 결론은 대전제의 일부이기 때문에 새로운 지식이라고는 할 수 없습니다.

 

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예)

모든 사람은 죽는다.--대전제

소크라테스는 사람이다.--소전제

그러므로 소크라테스는 죽는다.--결론

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'소크라테스는 죽는다'는 결론은 '모든 사람은 죽는다'라는 대전제에서 끌어낸 결론이므로 대전제의 일부일 뿐이지, 새로운 지식은 될 수 없습니다. 더구나 '연역법'은 '대전제'로부터 '결론'을 도출해 내는 것이기 때문에 '대전제가 그릇'되었을 경우 여기에서 얻어지는 '결론도 잘못'된 것일 수밖에 없습니다.

 

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예)

모든 꽃은 열매를 맺는다.--대전제

봉숭아는 꽃이다.--소전제

그러므로 봉숭아도 열매를 맺는다.--결론

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위의 예 역시 '연역법'에 의한 추리입니다. 그러나 이 연역에서 대전제의 내용이 그릇된 것이므로, 여기에서 얻어진 결론도 옳은 것이라고 볼 수는 없는 것입니다. 이처럼 '연역법'의 경우 대전제가 진리일 경우에는 결론도 항상 진리이지만, 대전제가 그릇된 경우에는 결론도 항상 그릇된 것일 수밖에 없습니다.

 

'귀납법'은 많은 사실들을 관찰하여 보편적인 결론을 도출해 내는 방법입니다.

 

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예)

소크라테스는 죽었다. 공자도 죽었다. 석가도 죽었다.

소크라테스, 공자, 석가는 사람이다.

그러므로 모든 사람은 죽는다.

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그러나 이처럼 부분적인 관찰 사실로부터 얻은 결론을 일반적인 진리로 여기는 것은 논리적으로 오류가 있습니다. 왜냐하면 모든 사례를 완전히 조사, 관찰한 것이 아닐 수도 있기 때문입니다. 실제로 많은 사례를 확인하여 '모든 백조는 희다'라는 결론을 얻어냈으나, 나중에 오스트레일리아에 '검은 백조'가 있다는 것을 확인하고 그 결론의 잘못을 인정한 경우도 있습니다. 그러니 '일반화의 오류'나 '확증 편향'에 빠져 논리적 오류에 빠지기 쉬운 방법이기도 합니다.

 

이처럼 '귀납법'은 진리일 가능성이 높을 뿐이지 확실한 진리가 되지는 못합니다. 그러나 필연적인 지식이 아니라고 해서 '귀납법'의 가치가 떨어지는 것은 아닙니다. 여러 가지 경험을 통해 얻어진 과학적 지식들은 이 '귀납법'에 의해 얻어진 지식으로서, 그것은 거의가 진리일 가능성이 높은 경험적 지식이기 때문입니다.

 

지금 이 문제도 역시 귀납법으로 접근할 필요가 있습니다.

문제를 다시 환기시켜보면 이렇습니다.

 

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세 사람이 100원씩을 걷어 300원짜리 물건을 샀고,

주인이 50원을 깎아주고,

아르바이트생이 20원을 가졌으며,

세 사람은 30원을 돌려받았습니다.

결국 한 사람당 90원을 낸 것이며,

90 X 3 + 20 = 290원으로 10원이 빈다.

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보기엔 간단한 문제지만 그리 간단하지 않다는 것을 고민해보신 분들은 아셨을 겁니다. 저 위에서 길게 연역법과 귀납법을 설명한 이유는 여러 가지 고찰을 해볼 필요가 있기 때문입니다.

 

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첫째, 아르바이트생이 10원만 가졌을 경우...

 

세 사람은 40원을 돌려받은 것으로 각자 13.333원씩 나눠 가진다면

결국 1인당 100 - 13.333 = 86.666원씩 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면,

86.666 X 3 + 10 = 270원으로 황당하게도 30원이 빕니다.

 

둘째, 아르바이트생이 30원을 가졌을 경우...

세 사람은 20원을 돌려받은 것으로 각자 6.666원씩 나눠 가진다면

결국 1인당 100 - 6.666 = 93.333원씩 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면,

93.333 X 3 + 30 = 310원으로 오히려 10원이 남게 됩니다.

 

셋째, 아르바이트생이 40원을 가졌을 경우...

세 사람은 10원을 돌려받은 것으로 각자 3.333원씩 나눠 가진다면

결국 1인당 100 - 3.333 = 96.666원씩 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면,

96.666 X 3 + 40 = 330원으로 30원이 남습니다.

 

넷째, 아르바이트생이 50원 모두를 가졌을 경우...

세 사람은 돌려받지 못했으므로 결국 1인당 100원씩을 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면, 100 X 3 + 50 = 350원으로 50원이 남습니다.

 

다섯째, 아르바이트생이 가지지 않았을 경우...

세 사람은 50원을 돌려받은 것으로 각자 16.666원씩 나눠 가진다면

결국 1인당 100 - 16.666 = 83.333원씩 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면,

83.333 X 3 + 0 = 250원으로 50원이 모자릅니다.

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위의 고찰을 통해 알 수 있는 것은 결과 값이 제 각각이라는 것입니다.

결국 우리는 위와 같은 계산법을 신뢰할 수가 없다는 결론에 도달하는 것이죠.

다시 말하면 문제 자체에 오류가 내포되어 있을 가능성이 크다는 뜻입니다.

 

다른 방법으로 접근해 보겠습니다.

그럼 다시 원점으로 돌아가 보죠.

세 사람이 돈을 지불하면서 300원이라는 소비가 발생을 했습니다.

가게 주인은 300원의 소비에 대해 재화를 공급하고 50원의 우수리를 발생시켰습니다.

이에 대해 제 3자인 아르바이트생이 부당한 이득을 취했고, 나머지를 소비자가 돌려받는 엄연한 경제 활동입니다.

이 문제는 결국 모든 돈을 합쳐서 300원을 만들어야 한다는 강박관념을 심어줍니다. 재밌는 사실은 이 세 사람은 지금까지도 물건 값이 270원으로 알고 있다는 것입니다. 왜냐하면 30원을 돌려받았기 때문입니다. 여기서 잘 생각을 해보면 이 문제가 가진 심각한 오류를 발견할 수 있습니다.

 

아르바이트생이 중간에서 얼마나 가로챘는지 상관없이 이 사람들은 자신들의 소비활동에 대해 30원이라는 예상치 못한 수익이 발생했으므로 300원이라는 최초의 소비활동은 이미 사라져 버렸습니다. 새로운 경제활동이 발생한 것이죠. 그러니까 결국 이 세 사람이 알고 있을 물건 값 즉, 270원이 주인공이 되어야 한다는 것입니다. 따라서 아르바이트생이 가지고 있는 20원을 이 주인공에 더한다는 자체가 심각한 오류입니다. 270원은 누군가 가지고 있는 돈이 아닌 이미 지출한 눈에 보이지 않는 돈입니다.

 

잘 이해가 가지 않는다면 이렇게 생각하시면 쉽습니다.

나중에 아르바이트생이 주인에게 걸려서 20원을 세 사람에게 돌려주었을 때 세 사람이 냈던 270원에 돌려받은 20원을 합쳐서 300원이 되어야 할까요?

아닙니다. 당연히 270에서 20원을 빼서 주인이 가지고 있을 250원과 일치해야 합니다. 결국 이 세 사람은 250원짜리 물건을 250원에 산 것이 됩니다. 그 전에는 250원짜리 물건을 270원에 샀고 그 차액인 20원을 제 3자가 가지고 있습니다.

 

지금 이 생각이 옳은지 귀납법으로 저 위에 있는 5가지 방법을 통해 증명하겠습니다.

 

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첫째, 아르바이트생이 10원만 가졌을 경우...

세 사람은 40원을 돌려받은 것으로 각자 13.333원씩 나눠 가진다면

결국 1인당 100 - 13.333 = 86.666원씩 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면,

86.666 X 3 - 10 = 250원으로 물건값 250원과 일치 합니다.

 

둘째, 아르바이트생이 30원을 가졌을 경우...

세 사람은 20원을 돌려받은 것으로 각자 6.666원씩 나눠 가진다면

결국 1인당 100 - 6.666 = 93.333원씩 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면,

93.333 X 3 - 30 = 250원으로 물건값 250원과 일치 합니다.

 

셋째, 아르바이트생이 40원을 가졌을 경우...

세 사람은 10원을 돌려받은 것으로 각자 3.333원씩 나눠 가진다면

결국 1인당 100 - 3.333 = 96.666원씩 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면,

96.666 X 3 - 40 = 250원으로 물건값 250원과 일치 합니다.

 

넷째, 아르바이트생이 50원 모두를 가졌을 경우...

세 사람은 돌려받지 못했으므로 결국 1인당 100원씩을 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면, 100 X 3 - 50 = 250원으로 물건값 250원과 일치 합니다.

 

다섯째, 아르바이트생이 가지지 않았을 경우...

세 사람은 50원을 돌려받은 것으로 각자 16.666원씩 나눠 가진다면

결국 1인당 100 - 16.666 = 83.333원씩 낸 것으로 같은 계산법으로 한다면,

83.333 X 3 - 0 = 250원으로 물건값 250원과 일치 합니다.

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어떻습니까? 말만 조금 바꾸고 부호를 + (plus) 에서 - (minus) 로 바꾸었더니 말이 되죠?

 

결국 숫자와 말로 조금 장난을 친 것이고 착각하기 딱 좋은 문제입니다.

 

정확한 문제의 정답은 "10원은 어디에도 가지 않았으며 문제에 오류가 있다." 입니다.