[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 28번 문제 풀이

엔지니어가 취미로 푸는 수학

 

 

2023년 수능 수학 홀수형 기하학 28번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 기하학 28번 문제 풀이입니다. 기하학 문제라고 해서 더 다양하게 나올 줄 알았는데 포물선과 타원이 나오더니 이번에는 쌍곡선입니다. 학력고사 세대인 제가 고등학생일 때는 쌍곡선은 배우기만 했지 실제로 문제에서는 잘 나오지 않았었습니다. 그래도 혹시 몰라 공식을 외우곤 했었지만 실제로 써먹을 일이 많지 않아서 완전히 잊어버리고 있었습니다. 쌍곡선의 정의만 알면 되는 문제인데, 반대로 정의를 모를 경우 절대로 풀 수 없는 문제이기도 합니다. 기하학은 기본 도형인 원, 삼각형, 사각형 외에 포물선과 타원만 알면 될 것 같았는데 이제는 쌍곡선까지 알아야 하는 모양입니다. 요즘 수험생들은 참 힘들게 공부하는 것 같습니다.

 

사실 쌍곡선은 공식이 타원과 닮아서 외우기도 쉽고 이해하는 것이 그리 어렵지는 않습니다. 쌍곡선은 쌍곡선의 방정식과 점근선의 개념만 알면 됩니다. 아래 그림에서 크게 X자로 보이는 직선 두 개가 바로 점근선입니다.

 

 

타원 방정식과 다른 점은 딱 하나 중간에 부호가 마이너스로 바뀐다는 것 뿐입니다. 그리고 점근선의 기울기는 각각 y=b/a · x 와 y=-b/a · x 입니다. 쌍곡선이 x축과 만나는 교점이 a와 -a입니다. 기본 개념은 이게 전부입니다.

 

문제로 돌아가 보겠습니다. 두 초점 F와 F'에서 A로 선을 그었더니 점근선과 평행하다고 합니다. 그렇다면 곧바로 점근선의 기울기가 계산됩니다. 왜냐하면 문제에서 AP:PP'=5:6이라고 했으므로 삼각형 세변의 길이의 비를 모두 알 수 있기 때문입니다. 주의할 점은 5:6과 같이 상대적인 비율을 준 것이지 절대적인 길이를 준 것은 아니라는 점입니다. 그래서 길이를 5k, 4k, 3k 등과 같이 써야 합니다. 점근선과 평행한 AF의 기울기는 당연히 -4/3입니다. 따라서 점근선의 정의에 따라 a=3k, b=4k가 됩니다.  네 맞습니다.  3과 4가 아니라 3k와 4k여야 합니다. 아직 정확한 길이를 우리는 모르기 때문입니다. 그리고 초점의 좌표 c는 마치 피타고라스의 정리처럼 풀면 됩니다. 여기서는 c=AP=5k입니다. 최종 정답은 주축의 길이를 찾는 문제입니다. 주축의 길이는 2a입니다. 지금까지 찾아낸 바로는 2a=6k이므로 아직 부족합니다.

 

추가로 고려해야 할 것은 문제에서 점 P가 주어졌다는 것입니다. 게다가 FP의 길이가 1이라고 문제에서 줬습니다. 쌍곡선의 기본 개념에서 빠진 것이 있었습니다. 사실 저도 기억이 안나서 찾아보고 새로 공부했습니다. ^^;; 마치 처음부터 다 알았던 척은 하지 않겠습니다. 사람이 솔직해야죠. 쌍곡선 위의 한 점 P는 항상 두 초점과의 거리의 차가 주축의 거리가 됩니다. 즉, F'P-FP=2a가 항상 성립한다는 의미입니다. 따라서 F'P=2a-FP=6k+1입니다. c=5k이므로 FF'=10k입니다. 그렇다면 삼각형 PFF'에 코사인 법칙을 적용하면 됩니다. 우리는 FP의 실제 길이가 1이라는 것과, FF'의 길이가 10k라는 것을 알고 있으며, 각도 PFF'이 APP'과 같으므로 코사인 값이 3/5라는 것도 알고 있습니다. 여기에 코사인 법칙만 적용하면 됩니다. 지금까지 구했던 값들을 모두 대입해서 정리하면, k=0 또는 k=3/8입니다. 그런데 k가 0이면 이 문제는 처음부터 성립하지 않기 때문에 k=3/8이어야 합니다. 이제 최종 정답을 풀 수 있습니다. 주축의 길이 2a=6k=6 X 3/8 = 9/4 입니다.

 

이와 같이 포물선, 타원, 쌍곡선은 기본 개념 몇 가지만 알고 있으면 됩니다. 포물선의 초점과 준선, 타원의 초점, 쌍곡선의 초점과 점근선 등과 각각의 방정식과의 관계를 이해하면 됩니다. 외우다가 안 되서 틀렸다면 또 외우면 됩니다. 틀린 문제를 얼마나 빨리 회복하고 극복해서 풀어 내느냐의 싸움을 우리는 '공부'라고 부릅니다. 처음부터 틀리지 않기 위해 하는 것은 '공부'가 아닙니다. 그건 '공부'가 아니라 '객기'입니다. 불필요하고 무모하기 때문입니다.