[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 27번 문제 풀이

엔지니어가 취미로 푸는 수학

 

 

2023년 수능 수학 홀수형 기하학 27번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 기하학 27번 문제 풀이입니다. 전형적인 기하학 문제입니다. 제가 말씀 드렸었습니다. 기하학은 뭐다? 기하학은 보조선을 잘 긋는 것부터 시작합니다. 이 문제가 바로 전형적인 보조선 연습용 문제입니다. 처음에 선분 AB와 AC만 보고 무슨 문제인지 감이 잘 안 오는 분들도 계실 것입니다. 특히 AC가 엇갈려서 각을 이루고 있는지 몰랐던 분들도 계실 수 있습니다. 저도 처음에는 그랬습니다. 그런데 문제가 평면 ABC가 평면 α와 이루는 예각의 크기를 θ2라고 한다는 것에서 알았습니다. 아... 엇갈려 있구나... 하고 말입니다. 게다가 문제가 cosθ2를 구하라고 하고 sinθ1=4/5라는 조건이 문제에서 주어졌다는 것은 θ가 풀기 쉽게 π/6, π/2, π/3, π 등으로 주어지지는 않겠구나 하고 느꼈습니다. 결국 길이를 다 구해보면 답이 나올 것이라고 생각했습니다. 실제 길이인지 몰라도 됩니다. 결국 cos값을 구하는 것이 목표이므로 길이들 사이의 비율만 있으면 됩니다.

 

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이제 보조선을 다 그어봅니다. C에서 평면 α 위에 내린 수직선이 평면 α와 만나는 점을 D라고 명명했습니다. 그리고 C에서 AB에 내린 수직선과 만나는 점을 E라고 명명했습니다. 결국 우리는 각도 CED가 θ2이고 cosθ2는 ED/CE 값을 구하면 됩니다. 문제에서 주어진 첫번째 조건은 sinθ1=4/5입니다. 따라서 AC=5, CE=4, AE=3입니다. 벌써 CE가 나왔습니다. 그리고 두번째 조건에서 각도 CAD가 π/2-θ1이므로 자연스럽게 ACD=θ1입니다. 따라서 AC=5, AD=4, CD=3입니다. 안타깝게도 제 손글씨 풀이에서 실수가 있었습니다. 죄송합니다. AD=4입니다.  CE값을 구했으므로 이제 ED값만 구하면 됩니다. 제 손글씨처럼 CE와 CD를 이용해서 피타고라스의 정리로 풀어도 되고, AD와 AE를 이용해서 피타고라스의 정리를 이용해도 마찬가지입니다. 결국 ED는 루트 7이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서  cosθ2는 √7/4이 정답입니다.

 

이런 문제는 보조선을 잘 긋고 피타고라스의 정리만 알면 풀 수 있습니다. 평소에 비슷한 유형의 문제를 많이 풀어봤다면 쉽게 풀 수 있는 문제였습니다. 그래야 당황하지 않고 쉽게 응용이 가능하기 때문입니다.