[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 26번 문제 풀이

엔지니어가 취미로 푸는 수학

 

 

2023년 수능 수학 홀수형 기하학 26번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 기하학 26번 문제 풀이입니다. 벡터 문제가 기하학에 포함되었다는 것을 처음 알았습니다. 그러고 보면 확률과 통계, 미적분, 기하학으로 너무 단순화시켜 분류하다 보니 어쩔 수 없었던 모양입니다. 이미 저는 다 푼 상태인데 이상한 점은 요즘은 복소수가 없는 모양입니다. 어떤 문제도 계산 과정에 일부라도 복소수가 포함된 문제가 전혀 없습니다. 수학에서 복소수는 매우 중요한 개념인데 의아했습니다. 수능 수학 시험에서 다루지 않는 것을 보니 고등학교 과정에서는 빠진 것 같은데 맞나요? 아시는 분은 댓글 하나만 남겨주시면 감사하겠습니다.

 

어쨌든 이 문제는 벡터의 기본 개념만 알면 풀 수 있는 간단한 문제입니다. 항상 그렇듯이 저는 그냥 한 번에 풀어낸 것이 아닙니다. 어렴풋이 기억이 나긴 했지만 문제를 풀 정도는 아니었기 때문에 벡터 관련 기본 개념을 찾아보고 공부한 뒤 풀었습니다. 매번 말씀 드리지만, 제가 수학을 잘한다고 자랑하려고 문제 풀고 블로그에 올리는 것이 아닙니다. 예전에 좋아했던 수학을 다시 느껴보고 싶어서 풀어보고 공부한 뒤 풀이 과정에서 느낀 점들을 여러분과 공유하고자 올려두는 것 뿐입니다.

 

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벡터도 사칙 연산이 가능합니다. 첫번째 조건은 벡터끼리의 빼기와 곱셈입니다. 화살표 표시가 어려워 단순화해서 써보면 (p-a)·(p-b)=0입니다. 두 벡터의 곱이 0이 되려면 사잇각이 직각이어야 합니다. 벡터 a와 b는 좌표로 주어졌지만 p는 주어지지 않았습니다. 그렇다면 임의의 점인 벡터 p는 원 위의 한 점이어야 한다는 결론에 이를 수 있어야 합니다. 원 위의 한 점은 원의 중심을 지나는 직선과 원이 만나는 두 교점과의 선들은 서로 직각이어야 합니다. 이미 2천년 전 유클리드 기하학에서 다뤘던 개념입니다. 그렇다면 원의 중심은 당연히 (2, 6)이 됩니다. 

 

두번째 조건에서 벡터 q는 q=1/2a + tc라고 했습니다. 벡터 a와 c는 이미 알고 있으므로 그대로 대입해서 풀면 벡터 q는 (t+1, 2)라는 것을 알 수 있습니다. t가 얼마인지 알 수는 없지만 y=2 직선 위를 움직이는 한 점인 것은 알 수 있습니다. 따라서 두 가지 조건을 토대로 그림을 그려보면 제가 그린 것과 같이 될 것입니다. 보기 좋게 x를 수평선으로 하고 그릴 수도 있었는데 어쩌다보니 저렇게 되었습니다. 그려놓고 저도 후회했습니다. 헷갈려서 어디가 x축이고 어디가 y축인지 그려야 했습니다. 어쨌든 이 상태에서 벡터 p와 벡터 q 사이의 최소 거리는 벡터 p가 벡터 a에 위치할 때이므로 y축 사이에서의 거리인 2가 됩니다.