[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 29번 문제 풀이

엔지니어가 취미로 푸는 수학

 

 

2023년 수능 수학 홀수형 기하학 29번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 기하학 29번 문제 풀이입니다. 풀다 보니 저에게는 기하학이 쉬운 편인 것 같습니다. 좋아하기로는 미적분을 좋아하는데 풀기에는 기하학이 쉬운 것 같은 느낌입니다. 개인적인 느낌일 뿐이니 참고만 하시기 바랍니다. 사실 공대생 입장에서는 기하학도 중요하지만 미적분이 가장 중요해서 일종의 의무감 같은 것이 있어 공부해야 할 것 같은 느낌이 강하게 들기도 합니다. 그리고 제가 미적분을 워낙 좋아했었기 때문에 약간 애착도 있습니다. 하지만 2023년 수능 수학 시험에서는 기하학이 상대적으로 쉽다는 느낌이 강하게 듭니다.

 

29번은 또 다시 벡터 문제가 나왔습니다. 평면 α 위에 사다리꼴 ABCD와 어디인지는 모르지만 점 P와 Q가 있습니다. 그냥 같은 평면 위라고 해도 되는데 굳이 평면 α라고 한 것은 불필요해 보입니다. 아무튼 사다리꼴의 모든 제원을 문제에서 줬습니다. AB=CD=AD=2이고 각도 ABC=BCD=π/3라고 했으므로 사다리꼴의 모든 길이 값은 제가 그린 것과 같이 모두 알 수가 있습니다. 29번 문제라고 하면 몇 번 꼬아서 낼만도 한데 너무 친절해서 당황스러울 정도였습니다. 

 

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그리고 동일 평면 위의 임의의 점 P와 Q에 대한 단서를 3가지 조건으로 제시했습니다. (가)부터 살펴보겠습니다. 벡터 AC=2(AD+BP)라고 했는데 우리는 이미 AC와 AD를 알고 있습니다. 정리해보면 BP=(AC-2AD)/2 입니다. 벡터의 성질을 이용하면 2AD= BC = -CB입니다. 그럼 벡터 BP=(AC+CB)/2 = AB/2 = 1이 됩니다. 게다가 벡터 AB의 1/2이므로 벡터 BP는 방향은 같고 길이가 절반인 벡터라는 것을 알 수 있습니다.

 

(나)에서는 벡터의 곱이 제시되었습니다. 벡터 AC·PQ=6, 벡터 PQ=6/AC=6/(2√3)=√3으로 정리할 수 있습니다. 여기서 우리는 벡터 AC는 벡터 PQ와 평행하다는 것을 알 수 있습니다. (가)와 (나)에서 벡터 BP가 벡터 AB와 방향이 같고 길이는 절반이고, 벡터 PQ는 벡터 AC와 평행하므로 제가 그린 것 처럼 될 수밖에 없다는 것을 알 수 있습니다. 그려놓고 조건 (다)를 살펴보겠습니다. 2 X ∠BQA = ∠PBQ < π/2 라고 했습니다. ∠BQA=θ, ∠PBQ=2θ라 할 때, ∠BAQ=θ가 됩니다. 삼각형 ABQ가 이등변 삼각형인 것을 알았으므로 AQ= 2√3이라는 것을 알 수 있습니다. 물론 삼각형 APQ에서 AP=3, PQ=√3이므로 피타고라스의 정리로 구할 수도 있습니다. 

 

최종 문제는 CP·DQ 벡터의 곱을 구하는 것입니다. 벡터 DQ는 삼각형 DAQ에서 DA=2, AQ= 2√3이므로 피타고라스 정리에 의해 벡터 DQ=4라는 것을 쉽게 알 수 있지만, 벡터 CP는 주어진 조건만으로는 알기 어렵습니다. 그래서 출제 위원들이 벡터 문제로 낸 것입니다. 벡터 DQ도 먼저 풀지 말고 기다렸다가 풀면 됩니다. 벡터 CP=CA+AP로 바꿀 수 있으므로 벡터의 곱은 이렇게 정리할 수 있습니다. CP·DQ = (CA+AP)·DQ = CA·DQ + AP·DQ에서 CA·DQ는 두 벡터가 수직이기 때문에 0이 됩니다. 삼각형 ADC가 이등변 삼각형이고, 벡터 AC와 벡터 PQ가 평행하며, 벡터 AC=2PQ이기 때문에 수직일 수밖에 없습니다. 따라서 CP·DQ = AP·DQ = 3X4=12가 정답입니다.