[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 30번 문제 풀이

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2023년 수능 수학 홀수형 기하학 30번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 기하학 30번 문제 풀이입니다. 드디어 2023년 수능 수학의 마지막 문제입니다. 기하학의 마지막 문제 답게 아예 3차원 문제가 나왔습니다. 사실 복잡해 보이는 그림에 비해 풀이는 그리 어렵다는 생각이 들지 않았습니다. 관건은 문제를 얼마나 빨리 정확하게 이해하느냐인 것 같습니다. 

 

일단 정사면체 ABCD가 있습니다. 그리고 삼각형 BCD의 외심을 O라고 할 때, O를 중심으로 하는 구 S가 있습니다. 정사면체 ABCD는 구 S를 뚫고 올라오는데, 이때 정사면체와 구가 접하는 세 점을 PQR이라고 해보겠습니다. 그리고 점 P이 접하는 평면을 α라고 할 때, 삼각형 PQR의 평면 α 위에 투영한 정사영 면적을 k라고 합니다. 최종 문제는 k^2을 구하는 문제입니다. 정사면체이고 구의 반지름 길이를 주었으므로 모든 제원들은 이미 다 나온 것이나 다름 없습니다. 정삼각형의 외심은 곧 무게중심입니다. 즉, BO가 구의 반지름 6과 같고 BE의 2/3만큼 차지합니다. 그래서 OE는 3이 됩니다. 정삼각형 BCD의 내각은 60도씩입니다. BE가 9인 것을 알았으므로 삼각함수로 풀면 BC=6√3이고, 정사면체 모두 6√3의 길이를 갖고 있다는 것을 알 수 있습니다.

 

우리는 일단 삼각형 PQR의 면적부터 알아내야 합니다. ∠ABO=θ라고 하면, ∠APO'=θ입니다. 계산해보면 cosθ=1/√3입니다. AO는 피타고라스의 정리에 의해 6√2입니다. AB위에 O에서 내린 수직선과 만나는 점을 F라고 할 때, BF의 길이를 구할 수 있습니다. 계산해 보면 BF=2√3입니다. 이등변삼각형인 OBP에서 BF가 2√3이면 FP도 2√3입니다. 그런데 정사면체의 한 변인 AB의 길이가 6√3이므로 AP도 2√3입니다. 그렇다면 정사면체 APQR의 한 변의 길이는 각각 2√3입니다. 한변의 길이가 2√3인 정삼각형 PQR의 면적은 헤론의 공식으로 풀 수 있습니다. 헤론의 공식은 아래와 같이 간단합니다. 삼각형의 길이만 알고 각도를 모를 때 면적을 구할 수 있는 매우 유용한 공식입니다.

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이렇게 풀면 삼각형 PQR의 면적은 3√3입니다. 이제 제가 손글씨로 푼 것처럼 좀 더 확대해서 보겠습니다. 점 P에 접하는 평면 α와 삼각형 PQR 사이의 각도를 θ2라고 하면, 각도 POA도 역시 θ2입니다. PO'의 길이는 삼각형 APO'으로 구할 수 있습니다. AP의 길이가 2√3이고 각도 APO'이 θ이고 cosθ=1/√3인 것을 이미 위에서 풀어놨으므로 PO'=2입니다. 그렇다면 OO'은 피타고라스의 정리에 의해 길이가 4√2이므로 cosθ2=2√2/3 을 계산할 수 있습니다. 이제 삼각형 PQR의 정사영 면적 k를 구할 준비가 끝났습니다. 정사영 면적 k=PQR 면적 X cosθ2 = 3√3 X 2√2/3 = 2√6입니다. 이제 다들 눈치 채셨죠? 여기서 끝내면 망하는 겁니다. 그래서 다 풀었다고 방심하지 말고 문제도 다시 읽어보고 풀이과정도 다시 천천히 곱씹어 봐야 합니다. 최종 문제는 정사영 면적 k가 아니라 k^2입니다. 그래서 정답은 24가 되어야 합니다.

 

처음부터 다 읽어보신 분들은 거의 안 계시겠지만 어쨌든 오랜 시간 동안 다 풀었고, 풀이과정과 풀면서 느꼈던 점들은 모두 블로그에 글로 남겼습니다. 수험생 여러분들께 아주 조금이나마 힘이 되기를 바랍니다. 다음에는 모든 풀이를 스캔해서 올려두겠습니다. 감사합니다.