[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 공통 11번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 공통 11번 문제 풀이입니다. 오랜만에 글을 업로드하는 것 같습니다. 수능이 끝나고 다음날 프린트해서 약 2개월 정도만에 전체를 다 풀었고 순서대로 업로드하겠습니다. 학력고사 세대인 저에게는 처음 접해보는 낯선 문제들도 있어서 공부하면서 푸느라 시간이 오래 걸렸습니다. 심지어 도저히 공부해도 모르겠길래 답을 보면서 공부한 문제도 있었습니다. 엔지니어 아저씨가 이 정도니 고등학생 여러분들은 이미 대단하십니다.

 

11번 문제는 원과 삼각형의 성질만 알면 됩니다. 원 위의 임의의 점에서 선분을 두 개 긋고 사이각을 이등분하면 이등분된 현과 호는 각각 길이가 같습니다. 원 위의 어떤 점에서도 성립하는 중요한 개념입니다. 그리고 결정적으로 그 유명한 사인 법칙과 코사인 법칙을 아는지를 묻는 문제입니다.

 

이 개념은 2천년 전에 쓰여진 유클리드 기하학이라고 불리는 유클리드의 ‘원론’의 공리에 의해 유도될 수 있을 정도로 유명한 개념입니다. 삼각형에서 코사인 법칙 또는 코사인 공식이라고도 하는 코사인 법칙은 기본적으로 삼각형의 길이를 각도 중 하나의 코사인과 관련시킵니다. 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이의 각도를 알고 있으면 세 번째 변의 길이를 결정할 수 있습니다. 공식은 다음과 같습니다:

c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cosγ

여기서 a, b, c는 삼각형의 변이고 γ는 a와 b 사이의 각도입니다. 아래 그림을 참고하세요.

 

코사인 법칙 공식에 따라 삼각형의 변의 길이 △ABC를 구하려면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

• a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cos α
• b^2 = a^2 + c^2 – 2ac cos β
• c^2 = b^2 + a^2 – 2ba cos γ

 

유도 과정을 굳이 복사하지는 않겠습니다. 수학의 정석, 참고서, 인터넷에 자세히 나와 있으니 찾아보시면 됩니다.

 

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그리고 사인 법칙을 알아야 합니다. 사인 법칙은 삼각형의 변의 비율을 정의하고 각각의 사인 각도는 서로 동일하다는 개념입니다. 사인 법칙의 다른 이름은 사인 법칙, 사인 규칙 및 사인 공식입니다. 사인 법칙은 미지의 각도 또는 빗각 삼각형의 변을 찾는 데 사용됩니다. 비스듬한 삼각형은 직각 삼각형이 아닌 모든 삼각형으로 정의됩니다. 사인 법칙은 한 번에 적어도 두 개의 각도와 해당 측면 측정에 적용해야 합니다.

 

 

공식은 a / Sin A= b/ Sin B= c / Sin C, 또는 a: b: c = Sin A: Sin B: Sin C 입니다. 즉, 각각의 각도들의 사인 값의 비율과 마주보는 변의 길이의 비율이 같다는 의미입니다. 하지만 여기서는 굳이 사인 법칙까지 사용하지 않고 SinA = 1 / CosA로 풀어도 되니 편하신 대로 하시면 됩니다. 저는 그냥 편한 대로 풀었습니다. 다만 관련된 공식들은 모두 알고 계셔야 응용이 가능하므로 필요한 개념들은 소개하고 넘어가겠습니다.