[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 공통 19번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 공통 19번 문제 풀이입니다. 문제는 짧고 간단한데 생각을 잘해야 하는 문제입니다. 함수를 기하학적으로 연상할 수 있는지를 묻는 문제입니다. 저도 푸는데 한참 걸렸습니다. 출제자가 뭘 원하는지 알기 위해서 3차 함수 그래프를 연습장에 몇 번을 그려봤는지 모르겠습니다. 3차 함수는 아시다시피 3개의 근을 갖습니다. 보통의 경우는 그렇습니다. 그런데 그 중에 두 개가 양의 실근이고 문제에서 주어진 f(x) 함수의 3차항 계수가 양이므로 그래프 모양이 달라질 일은 없습니다. 그러니 3차 함수가 실근이 두 개 있는 경우가 두 가지가 있으니 그래프로 그려봤습니다. 그 사이에서 그래프가 그려지면 f(x)는 음의 실근 하나와 양의 실근 두 개를 갖게 됩니다. 이때 정수 K가 가질 수 있는 값의 범위와 개수를 구하면 되는 문제입니다. K는 f(0)일 때 y 값이기 때문에 그렇습니다.

 

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결정적으로 제가 손으로 풀다가 실수를 했습니다. f(0) = 3이 아니라 f(3) = 0 입니다. 죄송합니다. 검산도 했는데 발견을 못했습니다. ② 그래프의 경우 x=0일 때 K가 0이 되므로 f(0) = 0, f(3) = 0 입니다. 즉, K는 0보다 커야 한다는 의미입니다. 그래프가 위로 올라가기 때문입니다. ① 그래프의 경우를 생각해 보면, f(0) = K입니다. y 값이 0이 되는 x값이 최솟값이라면 접선의 기울기가 당연히 0이어야 하므로 f’(x)로 미분해서 y가 0이 되는 x값을 찾으면 됩니다. 미분한 후 y를 0으로 놓고 방정식을 풀면 x=0 또는 x=2입니다. x=0에서 K 가 되므로 x=2에서 f(2) = 0입니다. 함수 f(x)에 대입하면 K값이 8이라는 것을 알 수 있습니다. 즉, K는 8보다 작아야 합니다.

 

따라서 K는 0보다 크고 8보다 작으므로 1~7까지의 정수값만 가지므로 정답은 7개 입니다. 다 풀어놓고 여기서 실수하면 큰일입니다. 저처럼 대세에 지장 없는 작은 실수는 문제 없지만 과정은 다 맞고 답이 틀리면 소용 없습니다. 마지막에 K=8이라고 8개 쓰신 분들도 분명 계실 텐데 이런 실수는 정말 조심하셔야 합니다. 저도 작은 부분이긴 하지만 실수한 것에 대해 반성 많이 하겠습니다. 원래 중이 자신의 머리를 깎지 못한다는 속담도 있듯이 자신의 실수는 자신이 발견하지 못하는 경우가 많습니다. 이런 것도 역시 연습으로 극복하는 수밖에 없습니다. 나이가 50이 되어도 실수는 줄어들 기미가 보이기는 커녕 점점 더 크게, 그리고 더 자주 합니다. 그럼 연습을 더 많이 하는 수밖에 없습니다. 노력하겠습니다.