[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 공통 15번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 공통 15번 문제 풀이입니다. 문제가 점점 점입가경 (漸入佳境)입니다. 요즘 수능 수험생 여러분들 정말 존경합니다. 제가 고3으로 돌아가면 과연 이 문제를 풀 수 있었을까 심하게 의문이 드는 문제들이 연속으로 나와 심하게 고생하고 있습니다. 저는 고3 때 정말 계산하는 기계 같았거든요. 함수를 기하학적으로 이해하기 시작한 것은 대학 때 역학을 배우면서 였습니다. 공업수학에서도 제2차 편미분방정식과 라플라스 정리 등은 그냥 그런대로 잘 버텼었던 것 같습니다. 그런데 단순한 수열 문제를 이렇게 내다니 짧은 시간에 어떻게 풀라고 그러는 것인지 모르겠습니다. 말로 설명하면 정말 길어지겠지만 어쩔 수 없는 것 같습니다. 꼼꼼하게 읽어보시고 천천히 잘 생각해보시기 바랍니다.

 

이 문제의 핵심은 (가)와 (나)의 모든 조건을 만족시키는 것인데 (나)의 조건이 도대체 무슨 말인지 이해하는 것부터 시작해야 합니다. 크게 an+1이 3의 배수일 때와, 3의 배수가 아닐 때 공식이 달라집니다. n=1의 경우를 생각해 보면 수열의 맨 앞은 an+2이므로 a3부터 시작한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, a1과 a2가 존재하지 않는다는 것을 의미합니다. 따라서 수열의 두번째 항을 계산하려면 최소한 a2의 값이 있어야 하는데 존재하지 않으므로 a3의 값은 반드시 3의 배수여야 한다는 결론을 얻을 수 있습니다. a3이 3의 배수면, a4는 3으로 나눠주면 되고, a5는 3의 배수면 또 나눠주고, 3의 배수가 아니면 a3 + a4로 계산하면 되는 수열입니다.

 

일단 저는 어떻게 생겨먹은 수열인지 n=1부터 차례로 대입해서 3개 정도 나열해봤습니다. 드디어 이제 감이 잡히기 시작했습니다. 이렇게 모든 자연수에 대해 다 해볼 수는 없으니 거꾸로 (가)의 조건인 a7=40인 경우를 찾기로 했습니다. 먼저 (나)의 1/3 조건에 만족하려면 a7=40일 경우, a6=120이어야 합니다. 그러면 a7=40이므로 a5 + a6이 40일리가 없습니다. a6이 이미 120이기 때문입니다. 그렇다면 a5=360이어야 합니다. 같은 논리로 a4= 1,080, a3=3,240 이어야 합니다. 따라서 이 경우의 수열은 a3~a9까지 3,240 1,080 360 120 40 160 200이 됩니다. 일단 a9=200을 얻었지만 아직은 최댓값인지 최솟값인지는 알 수가 없습니다.

 

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다음 (나)의 첫번째 조건을 만족하는 수열을 찾아봐야 합니다. a7=40은 고정으로 두고 앞의 a5와 a6의 합이 20인 조합은 (1, 39) 부터 (20, 20)까지 20개입니다. 하지만 이 조건을 적용하는 것이 가능하려면 a5와 a6는 절대로 3의 배수가 되어서는 안됩니다. 둘 중 하나라도 3의 배수면 3으로 나눠져 버리기 때문에 두 수열의 합이 40이 나오지 않기 때문입니다. 가령 a5가 3, 6, 9 등이거나, a6가 39, 36, 33 등이면 안되므로 제거해야 합니다. 그리고 맨 마지막 (20, 20)도 a6가 20이 되려면 앞의 두 수를 더해야 하는데 a4가 0이 되므로 문제에서 모든 항이 자연수라고 했으므로 조건에 위배됩니다. 그렇다면 a5와 a6의 남은 조합은 (2, 38), (5, 35), (8, 32), (11, 29), (14, 26), (17, 23)이 남습니다. 여기서 a4를 살펴봐야 합니다. 각각 a4는 a5의 3배이거나 a6에서 a5를 뺀 값이 될 것입니다. 각 조합의 a4의 값은 다음과 같습니다.

 

(a5, a6)가 (2, 38)인 경우 a4=6 또는 a4=36 → a4가 3의 배수이므로 a5=2가 될 수 없음

(a5, a6)가 (5, 35)인 경우 a4=15 또는 a4=30 → a4가 3의 배수이므로 a5=5가 될 수 없음

(a5, a6)가 (8, 32)인 경우 a4=24 → a5=8과 a4 + a5= a6을 모두 만족함

(a5, a6)가 (11, 29)인 경우 a4=33 또는 a4=18 → a4 + a5= a6 이 성립되지 않음

(a5, a6)가 (14, 26)인 경우 a4=42 또는 a4=12 → a4 + a5= a6 이 성립되지 않음

(a5, a6)가 (17, 23)인 경우 a4=51 또는 a4=6 → a4 + a5= a6 이 성립되지 않음

(a5, a6)가 (23, 17)인 경우 a4=69 → a4 + a5= a6 이 성립되지 않음

(a5, a6)가 (26, 14)인 경우 a4=78 → a4 + a5= a6 이 성립되지 않음

(a5, a6)가 (30, 10)인 경우 a4=90 → a5=30과 a4 + a5= a6을 모두 만족함

(a5, a6)가 (35, 5)인 경우 a4=105 → a4 + a5= a6 이 성립되지 않음

 

위 경우에서 딱 두 가지 경우에만 가능합니다. 정말 문제를 다시 봐도 황당합니다. 어쨌든 드디어 조합 두 개를 찾았으니 a3~a9까지 수열을 정리해 보면 다음과 같습니다.

72   24   8  32 40 72 24

270 90 30 10 40 50 90

 

여기에 맨 처음 찾은 수열까지 합치면 다음과 같습니다. 띄어쓰기는 보기 좋게 정렬하기 위한 목적일 뿐 다른 의미는 없습니다.

72           24    8     32  40  72  24

270        90   30    10  40  50  90

3240 1080 360 120 40 160 200

 

따라서 a9의 최솟값은 24, 최댓값은 200이므로 두 수의 합은 224입니다. 글로 설명하니 복잡하게 생각되시겠지만 천천히 곱씹어가며 잘 생각해보시면 원리는 의외로 쉬우니 실수만 조심하면 됩니다.

 

다시 생각해봐도 욕 나오네요. 수학 경시대회도 아닌데 인간적으로 좀 쉽게 냅시다!!!