[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 공통 14번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 공통 14번 문제는 다항함수의 수렴과 극한 문제입니다. 문제를 참 꼬아도 이렇게 꼬아 놓을 수 있나 싶었습니다. 학력고사 세대인 저에게는 정말 처음 보는 문제입니다. f(x), g(x), h(x)를 각각 정의하고 구간을 정해준 뒤 참인 것을 고르라고 합니다. 다항함수에 합성함수, 거기에 구간 변화까지 아주 작정을 하고 문제를 낸 것 같습니다. 저는 도저히 뭔 말인지 처음엔 감도 안 잡혀서 그래프로 그려가며 이해했습니다.

 

결정적으로 이 문제는 f(x)가 어떤 함수인지 알 길이 없다는 점이 핵심입니다. 그러니 -1과 1사이 구간에서는 g(x)도 어떤 모습인지 확인할 길이 없습니다. ㉠은 당연히 h(x)에 x=1을 대입하면 곧바로 수렴으로 값이 3임을 알 수 있으니 참입니다. ㉡은 모든 실수에서 연속이라고 헀으나 h(x)가 g(x)의 함수이고, g(x)가 -1에서 1사이에서 f(x)의 함수이므로, f(x)가 정의되지 않은 상태에서 연속인지 아닌지 확인할 길이 없습니다. ㉢은 만약 참이라고 가정하고 그래프를 그려보면 금방 답이 나옵니다. 닫힌 구간 -1과 1 사이에서 h(x)는 최솟값을 가져야 하는데 닫힌 구간에서 감소하므로 h(1)일 때 최솟값을 가질 수밖에 없습니다. 하지만 h(1)은 ㉠에서 3임을 알았고 참이라는 것이 분명하므로 3은 최솟값이 될 수 없고 ㉢은 거짓일 수밖에 없습니다.

 

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누누이 말씀 드리지만, 저는 인터넷 검색을 해가며 공부하면서 오랜 시간 동안 풀어서 가능한 것이지 제한 시간이 주어지면 못 풀었을 수도 있습니다. 어쨌든 이런 문제는 평소에 함수를 기하학적으로 그래프로 그려서 이해하는 연습을 해야 합니다. 이 모든 것이 데카르트 형님이 가져온 혁명이었습니다. 함수와 기하학의 만남을 가능하도록 좌표 평면을 만드신 분입니다. 그래서 좌표 평면을 영어로 Cartesian coordinate system (데카르트 좌표계)라고 부르는 이유입니다. 형님께서 어렵게 만드셨는데 열심히 공부해줘야죠.