[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 공통 20번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 공통 20번 문제 풀이입니다. 이 문제는 정말 기본에 충실한 문제라고 할 수 있습니다. 뉴턴 형님과 라이프니츠 형님이 미분과 적분을 만드신 이유가 바로 물체의 움직임, 즉 운동을 수학적으로 설명하기 위함이었습니다. 그래서 두 형님이 거리, 시간, 속도, 가속도의 상관 관계를 멋지게 풀어낸 것이 바로 미분과 적분입니다. 거리를 시간으로 미분한 것을 속도, 속도를 시간으로 미분한 것을 가속도라고 정의했고, 반대로 돌아가는 것이 적분입니다. 17세기에 어떻게 이런 생각을 하셨는지 지금 생각해도 천재들이십니다.

 

문제를 글로 풀어보면, 문제에서 주어진 점 P는 수직선 위를 움직이는 직선 운동을 하고 있는 중입니다. 시간에 따라 속도와 가속도가 변하는데 0초에서 2초 사이에서 속도의 변화를 함수로 제시했고, 2초 후에는 가속도의 변화를 함수로 제시했습니다. 속도만 주고 가속도를 제시하지 않았거나, 가속도만 주고 속도를 제시하지 않았다고 문제되는 것이 아닙니다. 왜냐하면 위에서 제가 설명했듯이 속도를 시간으로 미분하면 가속도, 가속도를 시간으로 적분하면 속도가 되기 때문에 속도나 가속도가 함수로 주어진다는 의미는 변한다는 것이고, 속도와 가속도가 변한다는 것은 각각 가속도와 속도도 변한다는 의미입니다. 항상 속도와 가속도 두 가지는 함께 고려해야 할 짝꿍같은 물리량입니다.

 

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가만히 보면 속도 함수는 속도 t가 0과 2일 때 0입니다. 그리고 3차항의 계수가 양수이므로 아래로 볼록한 곡선입니다. 속도 t가 -2일 때도 속도가 0이 되지만, 문제에서 주어진 구간을 벗어난 데다가 고등 수학에서 속도가 음수인 것을 다룰 리가 없으므로 여기서는 무시하겠습니다. 이렇게 0~2초 사이의 속도 함수를 기하학의 영역으로 가져오는 데 성공했다면 다음은 2초에서 3초까지이 속도를 알아야 합니다. 해당 구간에서의 가속도가 주어졌으니 우리는 적분을 해서 속도를 구할 수가 있습니다. 이때 가속도를 시간으로 적분하여 속도 함수를 구하면 적분 상수가 필요합니다. 그런데 우리는 t=2일 때 속도가 0이라는 것을 알고 있습니다. 그래서 처음 조건에서 t는 2보다 작거나 같고, 다음 조건에서 t는 2보다 크거나 같다고 한 모양입니다. 정확하게 2초에서 동일하게 속도 값이 같아야 하기 때문입니다. v(2)=0 으로 적분 상수 -20을 구할 수 있습니다. v(3)=19 이므로 3초까지만 그래프를 그려 봅니다.

 

이제 모든 구간의 속도 함수를 알았고 기하학적으로도 그렸습니다. 그렇다면 점 P가 3초 동안 움직인 거리는 어떻게 구할까요? 거리를 시간으로 미분한 것이 속도이므로, 속도를 시간으로 적분하면 됩니다. 즉, 그래프의 면적이 바로 거리입니다. 여기에서 가장 조심해야 할 부분은 그래프의 아래쪽 부분의 면적입니다. 원래 그래프 아래 면적은 y 축이 음수 값이므로 당연히 음수로 나오게 됩니다. 그런데 거리라는 물리량은 마이너스가 될 수 없으므로 절대값으로 처리하거나 저처럼 앞에 마이너스 부호를 붙여줘야 합니다. 이 부분에서 실수를 많이 하셨을 것 같습니다. 그래프의 x 축의 윗부분과 아랫부분을 더해야 하니 단순히 덧셈만 하면 -8 + 9 = 1로 계산되므로 그냥 넘어가게 됩니다. 하지만 앞부분의 -8도 0~2초 사이에 움직인 거리이므로 말이 안 됩니다. 당연히 절대값인 8이 되어야 합니다. 문제의 출제자는 이런 빈틈을 노린 것으로 보입니다. 거리, 시간, 속도, 가속도 사이의 관계뿐만 아니라 거리와 시간의 기본 개념도 함께 이해하고 있는지를 묻고 있습니다. 기계적으로 외우지 마시고 이해하는 데에 집중하셔야 합니다. 처음에는 이해가 힘들어도 보고, 또 보고, 다시 또 보면 어느새 이해가 될 것입니다.