[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 29번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 29번 문제 풀이입니다. 이 문제는 확률 문제로 경우의 수를 계산하는 전형적인 문제입니다. 공의 색깔, 공의 숫자, 주사위까지 세가지 유형의 문제는 항상 나오는 문제입니다. 여기에 카드 유형을 섞어 문제를 얼마나 잘 이해했는지를 테스트하고 있습니다. 경우의 수만 정확히 이해하면 되는 문제입니다.

 

문제를 이해해보겠습니다. 카드에 1부터 6까지 적혀있고 뒷면은 모두 0이라고 합니다. 순서대로 첫번째 자리는 1, 두번째 자리는 2...... 여섯번째 자리는 6을 놓고 자연수 k라고 부르고 있습니다. 사실 별 말도 아닙니다. 카드 위에 1부터 6까지 써있고, 주사위를 던지는 문제라는 것만 이해해도 무방합니다. 변수 k는 주사위를 던져서 나온 숫자이기도 합니다. 주사위를 던져서 나온 숫자에 맞는 카드의 자릿수를 뒤집는 문제입니다. 그리고 조건이 주어집니다. 한 번 뒤집으면 0이 되고, 두 번 뒤집으면 다시 제자리로 돌아오게 됩니다. 이제부터 진짜 문제입니다. 주사위를 3번 던져서 6개의 숫자를 모두 더하면 짝수가 되는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 경우의 수 전체는 p가 되고 이 중에서 1이 한 번만 나올 확률은 q가 됩니다. 마지막에 괄호 안에 중요한 조건 하나를 더 추가합니다. p와 q는 서로소인 자연수라는 것입니다. 수학에서 서로소 (素)라는 의미는 둘 이상의 수들 사이에서 1외에 공약수가 없는 것을 의미합니다. 즉, 숫자가 나오면 약분을 하라는 의미입니다. 수학 용어를 사용해서 좀 더 어렵게 느껴지도록 한 것일뿐 다른 의미는 없습니다.

 

반응형

 

이제 주사위 3개를 던졌을 때, 6개 숫자의 합이 짝수가 되도록 해봅시다. 현재 상태대로 합은 짝수일까요? 홀수일까요? 당연히 홀수가 됩니다. 왜냐하면 홀수가 3개가 있기 때문입니다. 숫자들의 합이 짝수가 되려면 두 가지 조건만 있으면 됩니다. 모두 짝수이거나, 2의 배수 개수가 홀수이기만 하면 됩니다. 왜냐하면 홀수+홀수=짝수이고, 홀수+짝수=홀수이기 때문입니다. 따라서 이 문제에서는 홀수를 몇 개를 건드려야 하는지만 결정하면 됩니다. 일단 맨 먼저 생각할 수 있는 경우의 수는 3번 던져서 모두 홀수가 나오는 경우입니다. 홀수들을 모두 뒤집어 0으로 만들면 모든 수는 짝수만 남기 때문에 합하면 짝수가 될 수밖에 없습니다. 모든 수가 짝수면 홀수 3개만 남아서 홀수가 되므로 포함되지 않습니다. 따라서 숫자가 뭔지는 상관 없고 [홀, 홀, 홀]이기만 하면 됩니다. 같은 홀수 숫자가 3번 나와도 됩니다. 1이 세 번 나오면 뒤집혀서 0이 되므로 홀수가 두 개만 남아서 짝수가 되기 때문입니다. 무조건 홀수만 3번 나오면 됩니다. 경우의 수는 6개 중에 홀수가 3개 이므로 3의 3승이 됩니다.

 

다음은 홀수가 1번만 나오는 경우의 수만 남습니다. 홀수가 2개 남기 때문입니다. 짝수는 냅두거나 뒤집거나 짝수가 되는데 지장이 없습니다. 따라서 [홀, 짝, 짝], [짝, 홀, 짝], [짝, 짝, 홀] 밖에 없습니다. 경우의 수는 역시 홀수도 3개, 짝수도 3개이므로 각각 3의 3승인데 3가지 경우가 존재하므로 3의 4승이 됩니다. 따라서 p는 27+81=108입니다. 

 

이 중에서 1이 한 번만 나올 확률을 구하기만 하면 됩니다. 1이 딱 한 번만 나오려면 위에서 첫번째 경우의 수로 [홀, 홀, 홀]에서 1이 한 번만 나오기만 하면 됩니다. 따라서 1이 한 번 나와 버리면 나머지 3개 중 2개만 남기 때문에 경우의 수는 3 X 2 X 2=12가 됩니다. 물론 2 X 3 X 2=12가 될 수도 있고, 2 X 2 X 3=12가 될 수도 있습니다. 어쨌든 1은 한 번만 나와야 하므로 순서에 상관없이 12가 됩니다. 두 번째 경우의 수는 홀수가 한 번만 나와야 하는데 그게 1이기만 하면 됩니다. 따라서 역시 순서에 상관없이 3 X 3 X 3=27이 됩니다. 홀수 3개 중에 1이 한 번 나오고 짝수가 두 번 연속 나와야 하므로 3을 두 번 곱해주면 됩니다. 즉, q=12+27=39 q/p=39/108인데 13으로 약분이 되므로 서로소를 만들어 주면 q/p=13/36입니다. 정답은 p+q=13+36=49입니다.

 

이런 문제 유형은 어느 문제집에나 다 있습니다. 위에서 말했듯이 확률 문제 중에서 주사위, 카드, 공을 가지고 내는 문제들은 많이 풀어보면 됩니다. 그 중에서도 이 문제처럼 몇 가지를 섞은 문제들을 중점적으로 연습해두시기를 권해 드립니다.