[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 27번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 27번 문제 풀이입니다. 확률과 통계 중에서 통계의 가장 대표적인 형식의 문제입니다. 표준정규분포에 대해서 기본적인 원리만 알면 됩니다. 표준정규분포 그래프를 그려가면서 공부하면 더 쉽게 이해가 됩니다. 저는 일단 여백이 부족할까봐 그래프를 그리지는 않았습니다. 정규분포는 무조건 N(m, σ^2)입니다. 여기서 m은 평균, σ는 표준편차입니다. 이 개념은 제조업 회사에서 가장 중요하게 다룹니다. 제품의 불량률과 품질을 측정하는 척도로 이용합니다. 여러분들은 바로 그 준비를 하는 것입니다. 물론 제조업에서 가장 일반적으로 사용되는 개념이긴 하지만 대학원, 연구소, IT기업, 언론 등 분야를 가리지 않고 표준정규분포는 널리 쓰입니다. 그러니 힘들더라도 무조건 공부해 두셔야 합니다.

 

문제를 다시 가져와보면, 샴푸 회사에서 샴푸의 용량이 표준정규분포를 따른다는 말은 무슨 의미일까요? 그냥 기계적으로 풀지 말고 회사 직원이라고 생각하고 답변해보시기 바랍니다. 이 말이 가진 의미는 기계로 대량생산하는 공장에서 샴푸의 용량이 항상 같지 않고, 샴푸의 용량이 어느 정도 허용 범위를 벗어나면 불량으로 간주하겠다는 의미입니다. 이때 전량을 전수조사하기 어려우므로 실제로도 무작위로 표본을 추출해서 검사를 하는 것이 일반적입니다. 문제에서는 16개를 임의로 골라서 용량의 평균을 냈더니 m이고 95%의 신뢰 구간이 746.1 ≤ m ≤ 755.9라고 합니다. 이 말은 또 무슨 말인가요? 16개 표본의 용량 평균이 m인데 용량의 ±5%가 각각 746.1mL와 755.9mL라는 의미입니다. 만약 누군가가 신뢰도 95% 정도면 믿을만 하다고 의사결정을 한다면 표본의 평균 용량이 저 범위에 들어올 경우 불량이 아닌 합격이 됩니다.

 

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문제를 계속 읽어보겠습니다. 이번에는 n개를 임의로 추출해서 평균을 m이라고 할 때, 신뢰도 99%의 신뢰 구간이 a ≤ m ≤ b 라고 합니다. 이때 b-a가 6이하가 되기 위한 자연수 n의 최솟값을 구하는 문제입니다. 마지막에 고맙게도 두 가지 조건을 줍니다. (P|Z| ≤ 1.96) = 0.95, 그리고 (P|Z| ≤ 2.58) = 0.99입니다. 표준정규분포에서 95% 신뢰도의 확률값과 99% 신뢰도의 확률값을 준 것입니다.

 

먼저 95% 신뢰 구간에서의 표준편차는 16개를 추출했기 때문에 σ/4가 되고, 표준정규분포의 가장 가운데 값은 두 값의 평균입니다. X1 = (746.1 +755.9) / 2 = 751.0 으로 계산되므로 주어진 95% 신뢰 구간에서의 확률 범위는 X1 - 1.96Xσ/4 ≤ m ≤ X1 + 1.96Xσ/4으로 정리할 수 있습니다. 평균값 m은 1.96Xσ/4 만큼 용량이 적거나 많아도 된다는 의미입니다. 그런데 위에서 X1값이 751.0인 것을 구했으므로 751.0-746.1 = 1.96Xσ/4 임을 알 수 있습니다. 정리하면 표준편차 σ=10입니다.

 

다음 99% 신뢰 구간은 위 내용을 반복만 잘하면 됩니다. 표준편차가 10인데 n개를 추출했으므로 10 나누기 루트 n이 표준편차가 됩니다. 여기에 확률값의 신뢰 구간 범위가 주어졌으므로 정리만 잘하면 됩니다. 정리하면 X2 – 2.58X10/√n ≤ m ≤ X2 + 2.58X10/√n이 됩니다. 그런데 문제에서 b-a의 값이 6 이하가 되도록 하는 n의 최솟값을 구하라고 했으므로 b-a는 2.58 X 10/√n X 2 ≤ 6으로 정리할 수 있습니다. 이제부터 산수만 실수없이 정리하면 됩니다. 제 손글씨 계산 과정을 참고하시면 되며 정답은 74입니다.

 

사실 개념이 쉽지는 않지만 일단 이런 문제만 잘 풀 줄 알면 졸업하고 나서도 두고두고 도움이 됩니다. 저도 고등학교 다닐 때는 몰랐는데 확률과 통계가 의외로 쓰임새가 많다는 것을 깨닫고 있습니다. 요즘 각광을 받고 있는 빅데이터 분야도 그렇고 데이터 사이언스와 데이터 분석가 등은 모두 확률과 통계 분야가 가장 중요합니다. 그러니 힘들어도 꾹 참고 버틸만한 과정이니 나중을 위해서라도 열심히 공부해두시기 바랍니다.