[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 24번, 25번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 24번 문제 풀이입니다. 역시 초반에는 쉬운 문제부터 나오는 것은 예나 지금이나 다르지 않습니다. 1부터 5까지 숫자를 중복해서 나열할 수 있는데, 조건 3개를 만족해야 합니다. 첫째, 4개를 뽑아 4자리 자연수를 만들고, 둘째, 4000 이상이어야 하고, 셋째, 홀수여야 합니다. 전형적인 확률 문제이고 쉬운 숫자 놀이라고 볼 수 있습니다. 저도 어릴 때 숫자를 가지고 이리저리 갖고 노는 것을 좋아했는데 딱 그런 문제입니다.

 

풀이 과정은 단순합니다. 3가지 조건에 만족하는 4자리 숫자를 만들면 되는데 중복이 가능하다는 단서를 주었으므로 자릿수 별로 생각하면 됩니다. 천의 자리는 4000 이상이어야 하므로 4와 5만 가능하므로 2, 백의 자리와 십의 자리는 어떤 숫자가 와도 상관 없으므로 5, 맨 마지막 일의 자리는 홀수여야 하므로 1, 3, 5만 올 수 있으니 3을 차례로 곱하기만 하면 됩니다. 정답은 150입니다.

 

이런 문제는 얼마든지 응용이 가능하므로 기본 개념만 알면 됩니다. 다른 문제로 응용해보겠습니다. 0, 1, 2, 3, 4, 5 등 숫자 6개를 주고 3000 보다 큰 짝수를 만들 수 있는 경우의 수는 몇 개나 될까요? 물론 중복 가능합니다. 위의 문제에서는 0이 없었지만 이번에는 0까지 넣어서 생각해보겠습니다. 천의 자리에는 3, 4, 5 등 3개만 올 수 있으므로 3, 백의 자리와 십의 자리는 어떤 수가 와도 상관 없으므로 6, 일의 자리는 짝수여야 하는데 3000보다 커야 하므로 0이 오면 안 됩니다. 따라서 2, 4만 올 수 있으므로 2입니다. 계산해 보면 정답은 3 X 6 X 6 X 2 = 216 일까요?

 

위에서 제가 풀이한 과정에서 논리적인 오류를 발견하셨나요? 일의 자리에 0이 올 수 없다는 것은 잘못된 생각입니다. 왜냐하면 3100이나 3010도 3000보다 큰 짝수이기 때문입니다. 따라서 3000만 아니면 된다는 뜻입니다. 그러므로 제가 낸 문제는 일의 자리에 0까지 포함해서 계산한 후 3000이 될 경우의 수 1만 빼주면 됩니다. 즉, 3 X 6 X 6 X 3 - 1 = 323이 정답입니다. 처음 접할 때는 어려울 수도 있지만 천천히 잘 생각만 하면 됩니다. 수학이 원래 그렇지만 확률은 특히 꼼꼼한 사람이 잘 풀게 되어 있습니다. 모든 경우의 수를 다 따져봐야 하기 때문입니다.

 

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2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 25번 문제 풀이입니다. 역시 전형적인 확률 문제입니다. 24번과 마찬가지로 이해와 응용만 잘하면 됩니다. 코로나 시국이어서 그런지 보통은 공을 고르는 문제인데 마스크를 고르라는 문제를 낸 것은 수험생들에게 익숙한 물건이므로 친숙하게 느껴지도록 배려한 것 같습니다. 저는 보는 순간 수능 시험 문제에 마스크를 내다니 출제 위원들이 위트가 있다고 생각했습니다. 문제를 내는 입장에서도 심심했던 것은 아닌가 싶기도 합니다.

 

문제를 다시 가져와 보면, 흰색 마스크 5개와 검은색 마스크 9개가 있는데 3개를 동시에 임의로 선택했을 때 흰색 마스크가 적어도 하나만 포함되도록 하는 경우의 수를 구하라는 문제입니다. 이 문제를 정석적으로 풀려면, 3개를 꺼내 보니 모두 흰색 마스크 3개가 나올 확률, 흰색 마스크 1개와 검은색 마스크 2개가 나올 확률, 흰색 마스크 2개와 검은색 마스크 1개가 나올 확률을 각각 구해서 더해야 합니다. 실제로 그렇게 해서 구해보고 답과 비교해보는 것도 좋은 접근입니다. 확률에 대해 좀 더 연습하고 생각해볼 수 있는 기회이기 때문입니다. 그런 방법을 누군가 틀렸다고 말할 수는 없습니다. 수학은 문제 해결 능력을 기르는 학문이지 빨리 푸는 것을 목표로 하는 학문이 아닙니다.

 

위에서 제가 말한 하얀색 마스크를 기준으로 확률을 생각해 보면, 3개 모두 검은색일 확률을 제외하고 모든 경우의 수가 포함된다는 것을 이해해야 합니다. 즉, 모든 경우의 수에서 딱 한 가지, 모두 검은색일 확률만 빼면 된다는 의미입니다. 아마 출제 위원들은 시간을 단축해서 이렇게 풀기를 원했던 것 같습니다. 좀 복잡하고 무식해보여도 제가 말했던 대로 각각의 확률을 구해서 더했다고 누가 뭐라고 하지 않으니 각자 편한 대로 하면 됩니다.

 

색깔을 고를 때는 숫자를 고르는 것처럼 순서가 중요하지 않으므로 일단 조합 (Combination)을 이용하면 됩니다. 총 14개의 마스크 중 3개를 고를 확률 중에 검은색 마스크 9개 중 3개를 고를 확률을 구하면 무작위로 고른 3개가 모두 검은색일 확률이 계산되므로 1에서 빼주기만 하면 됩니다. 문제를 아주 살짝만 꼬아 놨지만 원리는 단순한 문제였습니다. 유사한 문제를 평소에 많이 풀어보면 됩니다.