[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 공통 22번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 공통 22번 문제 풀이입니다. 이 문제에 대해서 솔직히 이실직고 (以實直告)하고 시작하겠습니다. 저는 이 문제를 못 풀었습니다. 아무리 수학책과 인터넷을 검색해봐도 모르겠어서 포기했습니다. 그래서 어쩔 수 없이 처음으로 정답과 풀이과정을 찾아봤습니다. 요즘은 유튜브로 친절하게 해설들을 해주더군요. 하지만 풀이 과정을 보면서도 이해가 안되서 관련 이론들을 다룬 인터넷 사이트들을 찾아봐 가며 이해했습니다. 이렇게 문제 내면 어쩌라는 것인지 대책이 없었습니다. 정답 풀이과정을 보면서 거꾸로 이해했습니다. 좌절했지만 언제까지나 시간을 무한정 쓸 수도 없는 노릇이어서 어쩔 수 없었습니다.

 

제가 몰랐던 부분은 크게 두 가지였습니다. 첫번째는 평균값의 정리였고, 두번째는 변곡점의 등분배였습니다. 정답 해설을 보기 전에도 검색해보니 평균값의 정리를 이용할 줄은 알았지만 그래서 뭘 어쩌라는 것인지 도무지 길이 보이질 않았었는데, 결국 3차 함수의 변곡점을 이용한 풀이였습니다. 듣고 보니 이해는 되는데 이런 이론이 있었는지 몰랐습니다. 제가 배웠던 고등학교 교과 과정이나 대학교 각종 공업수학과 역학 시간에 배웠었는지 조차 기억이 나질 않았습니다. 평균값의 정리도 기억이 안 나고, 변곡점의 등분배도 모르니 문제가 풀릴 리가 없었습니다.

 

문제에서는 결국 f(4)를 구하는 것이 최종 목표입니다. 그렇다면 f(x) 함수 전체를 알아내거나, 함수 전체를 몰라도 구할 수 있도록 조건을 주었을 것입니다. 하지만 이 문제는 f(4)에 대한 힌트가 딱히 없습니다. 아직까지는 그렇습니다. 문제에서 3차항의 계수가 1인 것은 이미 주어졌습니다. 그리고 g(x)가 실수 전체에서 연속이라는 것도 문제에서 제시했습니다. 조건을 하나씩 살펴보겠습니다. (가)의 방정식을 정리해보면 f’(g(x)) = (f(x) – f(1)) / (x – 1)이 됩니다. 즉, f’(1)은 x가 1에 수렴하는 극한으로 식을 치환할 수 있습니다. 이 말은 3차 함수 그래프 위의 점인 (1, f(1))과 (x, f(x)) 사이의 기울기와 또 다른 임의의 점인 g(x)에서의 접선의 기울기가 같다는 뜻입니다. 제가 손으로 그린 그래프와 같이 서로 떨어져 있어도 기울기가 같다는 것은 평행하다는 의미이기도 합니다. 조건 (나)는 g(x)가 5/2보다 크거나 같다는 것을 대놓고 알려줬습니다. 조건 (다)에서 f(0) = -3이므로 f(x)는 2차항과 1차항 계수만 빼고 3차항과 상수항은 모두 구할 수 있습니다. 물론 아직까지는 그렇습니다. 뒤에 가면 이런 식의 풀이는 도움이 안 됩니다.

 

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여기까지만 푸는 것도 쉽지 않은데 여기부터가 진짜 시작입니다. 평균값의 정리부터 다시 정리해보고 시작하겠습니다.

 

 

이왕 인용하는 거, 캡쳐해서 가져왔습니다. 무슨 말인지 복잡해도 암기를 해서라도 알고는 있어야 합니다. 위의 정의는 위키피디아에서 가져왔습니다. 함수 모양이 22번 문제와 동일한 것을 알 수 있습니다. 22번 문제를 정의에 대입해 보면 닫힌 구간 [x, f(x)]에서 연속이고 (x, f(x))에서 미분이 가능하므로 g(x)는 1과 x사이에 존재해야만 합니다. 그게 평균값의 정리가 가진 의미입니다. 변곡점들을 기준으로 하면 자동으로 등분배 되므로 그래프를 그리면 제가 손으로 그린 것과 같이 됩니다. 문제에서 g(x)의 최솟값이 5/2라고 했으므로 2/2에서 6/2 사이의 값을 가질 수 있습니다. 그렇다면 f(g(1))=6에서 g(1)=6/2=3이어야만 합니다.

 

즉, f(3)=6일수밖에 없다는 것을 이해하지 못하면 이 문제를 풀 수가 없습니다. 다시 말하면, f(3)=6을 이해하기 위해 평균값의 정리와 등분배가 필요했던 것입니다. 그리고 그래프를 통해 x=1, 2, 3에서 3차함수 f(x)와 직선이 교차한다는 것을 알아 내야 합니다. f(3)=6이므로 직선이 (3, 6)을 지납니다. 따라서 직선의 방정식을 h(x)라 하면 h(x)=d(x-3) + 6으로 정리할 수 있습니다. 그리고 교점의 x좌표가 1, 2, 3이므로 곡선과 직선의 방정식을 교점들을 이용하여 f(x) – h(x) = (x-1) (x-2) (x-3)이라고 쓸 수 있습니다. 여기에 대입해서 직선 방정식의 계수 d=1이라는 값을 얻고 f(x)에 x=4를 대입하면 f(4)를 구할 수 있습니다.

 

수학을 좋아했고 현직 엔지니어인 저도 이 정도인데 수학을 별로 좋아하지 않는 학생들은 풀기가 거의 불가능한 문제인 것 같습니다. 그렇더라도 계속 반복해서 풀다 보면 요령도 생기고 이해가 될 수 있으니 비슷한 문제들을 많이 접해보시기 바랍니다.