[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 30번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 30번 문제 풀이입니다. 솔직히 태어나서 처음 보는 문제 유형입니다. 학력고사 세대인 저에게는 너무나 버거운 문제였습니다. 그래서 정답 해설을 유튜브로 찾아서 보고야 말았습니다. 보면서도 이해가 안 되서 다섯번은 연달아 봤던 것 같습니다. 그제서야 조금씩 이해가 되기 시작해서 유튜브에서 알려준 방법대로 연습장에 풀면서 정확히 이해했습니다. 시험지에는 제가 이해한 대로 정리해서 옮겨 적었습니다. 퇴근하고 집에 와서 이틀 동안 풀었으니까 총 3~4 시간은 걸렸던 것 같습니다. 이 문제를 어려워 하시면서 좌절하실 필요 전혀 없으실 것 같습니다. 솔직히 이거 빼고 다 맞으면 되는 것 아닌가요? 그러니 다른 문제들을 완벽하게 공부하신 후에 이렇게 어려운 문제 유형들은 하루에 한 문제 정도씩만 공부해두시면 될 것 같습니다. 도저히 이런 문제 유형에 자신이 없다 하시면 확률과 통계를 선택 안 하시면 되겠죠. 그렇다고 미적분과 기하학이 그렇게 만만하지는 않습니다. 게다가 요즘 수능의 문제 유형들은 한 단원에 국한되어 문제를 내지도 않습니다. 이 문제처럼 확률과 통계에 함수를 적용하고, 미적분에서는 기하학을 모르면 절대로 풀 수 없는 문제들도 나옵니다. 그러니 기본 개념 정도는 익혀두는 것이 좋습니다. 다시 한 번 말씀 드리지만, 공부 잘하는 것보다 더 중요한 것은 좌절하지 않는 것입니다. 문제 몇 개 틀렸다고 인생 끝나지 않습니다. 그저 자신이 자신있어 하는 문제만 틀리지 않으면 됩니다.

 

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이 문제의 핵심은 주어진 조건 중 (다)에 있다고 해도 과언이 아닙니다. 집합 X에 포함된 x는 10 이하의 자연수이므로 1~10까지 수를 그림과 같이 병렬로 나열한 것입니다. 일단 이렇게 세팅을 해놓고 (다)의 조건을 보면 f(6)=f(5) + 6 이라고 합니다. 함수 f(x)가 뭔지는 주어지지 않은 상태에서 f(5)와 f(6)이 얼마인지 알 수가 없습니다. 다만, x가 1 증가할 때 이전 값에 6을 더하라고 했으니 f(5)=5가 절대로 될 수 없다는 것을 이해해야 합니다. (나)에 따라 f(5)는 1보다 크거나 같고 5보다 작거나 같다고 했으니 참일지 모르지만 f(5)=5가 성립하면 f(6)=11이 되므로 모순입니다. 즉, f(5)는 1~4까지 값을 가질 수밖에 없고 경우의 수가 4개가 발생하게 됩니다. 그래서 그림에서 저는 Case1 ~ Case4까지 4개의 그림을 그렸고 5를 각각 1~4까지 화살표로 연결하면서 시작했습니다. f(5)=4면 f(6)=10, f(5)=3이면 f(6)=9, f(5)=2면 f(6)=8, f(5)=1이면 f(6)=7입니다. (나)에 따라서 1과 10은 자신보다 크거나 작을 수 없으므로 동일하게 연결됩니다. (가)에 의해 Case1의 경우 f(6)=10이므로 f(7)은 10보다 작은 값을 가질 수가 없습니다. 따라서 7~9는 모두 10으로 연결됩니다. Case4의 2~4도 마찬가지입니다. f(5)=1이므로 2~4는 1보다 큰 수가 될 수 없습니다. 이와같이 Case1과 Case4, 그리고 Case2와 Case3은 숫자만 다를 뿐 서로 대칭임을 알 수 있습니다. 따라서 Case1과 Case2의 경우의 수를 구한 뒤 곱하기 2만 하면 됩니다.

 

Case1은 이미 공통적인 연결은 모두 완성했고 2~4까지만 경우의 수를 구해주면 됩니다. (가)에 의해 큰 수인 4의 값에 따라 2와 3의 값이 결정되므로 4가 가질 수 있는 경우의 수를 살펴보겠습니다.

 

만약 4가 1이면 2와 3은 무조건 1로 연결됩니다. 경우의 수는 한 개만 존재합니다.

만약 4가 2면 2와 3은 각각 1과 2의 값을 가질 수 있습니다. 경우의 수는 세 개 존재합니다.

만약 4가 3이면 3은 1~3의 값을 모두 가질 수 있지만, 2는 1과 2만 가질 수 있습니다. 경우의 수는 다섯 개 존재합니다.

만약 4가 4면 3은 1~3의 값을 가질 수 있지만, 2는 1과 2만 가질 수 있습니다. 경우의 수는 다섯 개 존재합니다.

그래서 총 14개의 경우의 수가 존재합니다.

 

Case2는 Case1에서 제가 했던 방식대로 하면 되는데 제가 참고한 유튜브 해설에서는 굳이 중복 조합 H를 이용해서 풀길래 저도 따라해봤습니다. 기억도 안나고 해서 공부도 해둘겸 써봤습니다. 저는 개인적으로 무식하게 Case1처럼 푸는 것을 선호합니다. 중복 조합 nHr = (n+r-1)Cr로 계산합니다. 여기서 주의할 점은 2~4의 수가 연결될 때 7~9도 동시에 경우의 수가 발생하므로 곱하기로 연결해줘야 한다는 점입니다. 그리고 7~9는 9와 10으로 연결되므로 교차할 일이 없지만, 2~4는 1~3으로 연결되므로 2가 3으로 연결되는 것만 발생하지 않으면 됩니다. 그래서 1을 빼주는 것입니다. 평소에 공부할 때는 이 부분이 이해가 안된다면 저처럼 Case1과 같이 다 풀어서 해보시기 바랍니다. 무식해 보여도 그렇게 해봐야 뼛속까지 이해가 됩니다. 이제 수식을 만들면 됩니다. 2~4의 3개의 수가 1~3의 3개의 수로 연결되는 경우의 수는 3H3이고 2가 3으로 연결되는 경우의 수 1만 빼주면 되고, 여기에 7~9의 3개의 수가 9와 10의 2개의 수로 연결되는 2H3으로 연결되는 조합을 곱해주면 됩니다. 조합 (Combination)으로 변환해서 풀어보면 36이 나옵니다. 

 

Case1과 Case2의 경우의 수를 합하면 50이 되고 대칭이므로 2를 곱하면 정답은 100이 됩니다.

 

누가 시킨 것도 아니고 나이 먹고 뭔 고생인가 싶지만, 수학의 매력은 역시 풀고 나면 성취감이 느껴지고 기분이 좋아집니다. 그래서 수학을 끊을 수가 없습니다. 모든 수험생 여러분들 힘내세요. 반복해서 말씀 드리지만 문제 몇 개 틀렸다고, 수능 시험 망쳤다고 인생 끝나지 않습니다. Stay positive, the change is coming. 제가 만든 제 좌우명입니다. 긍정적인 마인드가 인생을 바꾸어 주고 만들어 주는 것입니다. 인생은 장기전입니다.