[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 23번, 24번 문제 풀이

ㅍ

 

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 23번 문제 풀이입니다. 이 문제는 수열의 극한 중에서도 수렴에 해당하는 문제입니다. 기본적인 자연로그의 공식을 아는지를 묻는 문제입니다. 만약 x가 0으로 수렴할 때 ln(x+1)/x 부분이 lne로 변환될 수 있다는 사실을 모르면 풀기 어렵습니다. 평소에 기본적인 정의들을 증명하는 연습을 해두었다면 쉽게 풀 수 있습니다. 증명은 할 수 있는데 기억이 안난다면 시험 중에 유도해서 풀 수도 없습니다. 시간의 압박 때문입니다. 따라서 평소에 증명해보고 몇 개는 외워버리는 것이 시험에는 도움이 됩니다. 사실 수학을 암기과목으로 외워서 푼다는 것에 저도 거부감이 있지만 일정 부분은 어쩔 수 없다고 인정하는 수밖에 없습니다. 바로 이런 문제가 그 대표적인 예입니다. 문제를 보자마자 x로 나눠서 분자를 통째로 1로 만들어 버릴 수 있어야 합니다. 솔직히 저는 기억이 안나서 여러 미분 공식들을 찾아보다가 발견해서 해봤더니 되더군요. 아시잖아요. 저는 오픈북으로 풀었습니다. 제가 고등학생 때는 수학이 완벽하게 암기과목에 가까워서 공식을 수백 개는 외우고 있었던 것 같습니다. 선생님이 시키기도 했지만, 저도 개인적으로 수학을 좋아해서 문제를 많이 풀다 보니 저절로 외워지는 공식들도 많았습니다. 이 문제는 분자를 1로 만드는 순간 곧바로 풀려 버립니다. 쉬운 과정은 넘어가겠습니다.

 

반응형

 

 

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 24번 문제 풀이입니다. 이 문제는 공식이라기 보다 미적분의 기본 개념을 알고 있는지를 묻는 문제입니다. 무한 급수를 적분으로 등치해서 풀 수 있어야 합니다. 복잡해 보이지만 알고 보면 간단합니다. 문제를 말로 풀어보면, n은 극한으로 가고 k는 1부터 n까지의 급수인 함수입니다. 이때 계산 과정을 단순화시키기 위해 루트 안을 x라고 하면 dx=3/n만 남게 됩니다. 즉, 1/n = 1/3 dx가 됩니다. 변수 x=1+3k/n에서 n이 무한대로 발산하면 x=1이 되고, k는 1부터 n까지의 값을 갖게 되므로 n을 대입해 보면 4가 됩니다. 그러니까 x는 n이 무한대로 갈 때 최솟값을 갖게 되는데 아무리 작아봤자 1이고, k의 최댓값인 n일 때 x는 최댓값을 갖게 되는데 아무리 커봤자 4를 넘을 수가 없다는 뜻입니다. 그러므로 1부터 4까지 정적분으로 풀면 됩니다. 문제를 단순화 해보면, 구간은 1부터 4까지이고 1/3 ∫ √x dx로 바꿀 수 있습니다. 이제부터는 단순 수학으로 풀 수 있습니다. 기본적인 정적분이나 부정적분 문제는 누구나 풀 수 있다고 믿습니다. 여기까지의 과정이 중요한 것이지 이 다음부터는 크게 신경 쓰실 일 없습니다.

 

저는 개인적으로 미적분을 제일 좋아합니다. 공대생으로 고등학교 때 공부한 미적분을 대학에서 원없이 써먹어봤기 때문입니다. 심지어 제2차 편미분 방정식 (일명 편미방)도 풀어봤습니다. 뉴턴 형님과 라이프니쯔 형님께서 운동하는 물체를 수학적으로 설명하기 위해 만든 개념인데 수학의 역사를 다시 썼다고 해도 과언이 아닙니다. 두 형님이 미적분의 원조가 누구냐는 것을 놓고 논쟁이 치열했는데 결국 뉴턴이 원조인 것으로 공식 정리가 되었습니다. 여러 말들이 많았지만 당대 과학자들과 수학자들이 결정한 문제여서 우리는 하나의 역사로 배울 수밖에 없습니다. 하지만 우리는 두 분 형님들의 업적을 기리기 위해 두분이 각각 만든 미분 기호를 사용하고 있습니다. 라이프니쯔 형님은 미분기호를 dy/dx를 사용했고, 뉴턴 형님은 y’ 또는 f’(x)을 사용했습니다. 그래서 우리는 두 기호를 다 사용하고 있습니다. 저 역시 그래야 한다고 생각합니다.