[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 27번 문제 풀이

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 27번 문제 풀이입니다. 사실 이 문제는 마지막에 극한으로 풀기 직전까지는 그냥 기하학 문제입니다. R1은 도형이고 색칠한 면적을 S1으로 생각하면 무한등비급수로 생각하면 됩니다. 일단 무조건 S1의 넓이부터 구하면 됩니다. 그러면 자연스럽게 각각의 길이가 구해집니다. 기본적으로 주어진 조건으로 일단 구할 수 있는 제원은 구해놓고 곧바로 코사인 법칙으로 A1P1의 길이를 구할 수 있습니다. A1P1의 길이가 구해지면 제가 풀었던 것처럼 S1의 면적도 구할 수 있고 OE와 OQ1의 길이를 구할 수 있습니다. 길이가 구해지면 문제 풀이는 거의 끝납니다. 왜냐하면 무한등비급수의 정의에서 아래와 같이 배웠기 때문입니다.

 

S1이 1/5인 것을 알았고, 면적의 비가 1:1/5이 되므로, Sn이 무한히 작아지면 0에 수렴하는 것이 자명합니다. 게다가 r이 1보다 작으니 풀이법은 단 한가지만 남게 됩니다. 그렇다면 1/5 / (1 – 1/5) = 1/4로 풀 수 있습니다. 문제의 본문이 너무 길어서 저도 읽다가 지쳤는데 말이 긴 것 치고는 그림이 명확하게 그려져 있어 단순한 문제였습니다.

 

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솔직히 저도 무한등비급수 문제는 이렇게 푸는 방법 말고 다른 방법은 모르겠습니다. 개념을 정확하게 이해하지 못한 탓이기도 합니다. 다른 개념은 어려우니 출제자들도 일부러 r을 1보다 작게 해서 이렇게 출제하는 것이 아닌가 싶은 생각도 듭니다. 그렇지 않고 r이 1이거나 1보다 큰 수, 또는 음수를 갖게 되면 발산하게 되어 단순한 방법으로 풀기 어려워집니다.

 

저는 미적분이라고 해서 미분과 적분 공식들을 이용한 문제가 나올 것이라고 생각했는데 풀다 보니 내가 지금 기하학을 풀고 있는지 뭐하고 있는지 착각이 들 정도였습니다. 미적분 문제도 수능에서는 이제 기하학 없이는 출제하지 않는 모양입니다. 다시 한 번 요즘 수능 수학에서는 기본 개념 숙지가 얼마나 중요한지 깨달았습니다. 그래프가 나오는 미적분을 기대했더니 그건 또 엄청나게 어렵고, 전형적인 미적분 문제를 기대했더니 이건 또 거의 기하학 문제고 그렇습니다. 학력고사 세대인 저에게는 매우 혼란스럽습니다. 수험생 여러분들 정말 대단하십니다. 문제를 한 문제, 한 문제 풀 때마다 대단하다는 생각만 듭니다.