[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 28번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 28번 문제 풀이입니다. 이 문제 역시 전형적인 미적분 문제라기 보다 기하학 문제에 가깝습니다. 마지막에 극한의 수렴 부분만 제외하면 기하학 문제로 보입니다. 동시에 도형의 넓이를 함수 값으로 주는 독특한 문제이기도 합니다. 점 P와 Q가 호를 따라 움직이면서 변화하는 면적을 함수로 정의했습니다. 이때 f(θ)와 g(θ)는 각각 사각형과 삼각형의 면적이므로 함수를 굳이 써주지 않아도 되는 함수들입니다. 게다가 θ가 주어진 것으로 봐서 거의 무조건 삼각함수로 풀겠구나 하고 생각하면 됩니다.

 

미적분 문제이지만 처음에는 무조건 기하학으로 접근해야 합니다. 보조선을 몇 개 그어 봅니다. 주어진 θ와 각도가 같은 곳을 모두 찾아 두면 편합니다. 푸는 내내 염두에 두면 좋을 내용을 저는 맨 앞에 적어두었습니다. 최종 정답은 θ가 0으로 수렴하는 것이라면, 사인과 탄젠트는 θ에 수렴하고, 코사인은 1에 수렴하게 될 것입니다. 그리고 무한히 작은 θ에서는 호와 현의 길이가 같다고 봐도 무방합니다. 참고로 이러한 성질을 이용해서 최초로 원주율 파이 (π) 값의 근사치를 계산하신 분이 바로 아르키메데스 형님이셨습니다. 죄송합니다 잠시 TMI였습니다.

 

 

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P가 호 위에서 어디에 위치하든 삼각형 AOP는 무조건 이등변 삼각형이 되고 각도 POB는 2θ가 됩니다. f(θ)의 넓이는 코사인 법칙에 의해 쉽게 구할 수 있습니다. 그리고 삼각형 COQ와 POB는 서로 넓이가 같은 합동인 도형입니다. 보조선을 그어 보면 원의 반지름을 두 변의 길이로 갖는 이등변 삼각형이고 나머지 한 변의 길이도 문제에서 주어졌으므로 길이가 같습니다. 즉 각도 COQ도 2θ입니다. C에서 AP에 내린 수직선을 그어 만나는 점을 V라고 하면 각도 OCV는 θ가 될 수밖에 없습니다. 왜냐하면 각도 OCU가 θ이므로 OCQ가 π/2-θ이기 때문입니다. 이에 따라 OS와 OT도 θ가 0으로 수렴할 때 θ로 생각할 수 있습니다. OU도 결국 OC와 같아지게 될 것이므로 1로 수렴하게 될 것입니다. QR과 UT는 길이가 같은 수직선이고 쉽게 구할 수 있습니다. 결국 우리가 구하고자 하는 값은 SV입니다. 사각형 CQRV – 삼각형 CSV가 바로 g(θ)이기 때문입니다.

 

여기까지만 풀면 나머지는 쉽습니다. 최종 문제에 f(θ)와 g(θ)를 대입해서 풀면 정답은 2임을 알 수 있습니다. 이런 문제를 풀 때마다 각도가 한없이 작아질 때, 사인과 탄젠트는 θ에 수렴하고 코사인은 1에 수렴하며, 현과 호의 길이가 같아진다는 것을 이해하고 풀어야 합니다. 그게 이해가 안 되면 절대로 풀지 못합니다. 이와 같이 기하학 문제인데 각도가 0으로 수렴하면 일단 그렇게 생각하고 접근하면 됩니다. 저도 간만에 풀다 보니 책을 보면서도 한참이나 헤맸습니다. 이제 고3이 되실 분들은 꼭 참고하시기 바랍니다.