[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 29번 문제 풀이

엔지니어가 취미로 푸는 수학

 

 

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 29번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 29번 문제 풀이입니다. 오랜만에 전형적인 미적분 문제를 푼 것 같습니다. 극한이고 자연상수를 활용한 문제로 계수값을 알아내고 함수 f(x)를 정리할 수 있어야 합니다. 이런 문제는 다른 문제들도 마찬가지겠지만 유사 문제를 더더욱 많이 풀어보는 수밖에 없습니다. 역함수에 대해 고민하기 전에 주어진 조건으로 f(x)를 알아내야 합니다. 그러기 위해서 풀이를 단순화하기 위해 치환도 적절히 할 수 있어야 합니다.

 

함수 f(x)는 자연상수 (일명 오일러 상수)에 계수 a, b, c를 갖는 함수입니다. 문제를 보자마자 바로 a, b, c를 찾아야 한다는 것을 간파해야 합니다. 조건 (가)에서 x가 마이너스 극한으로 발산할 때 1이 된다는 것을 알려주었습니다. 쉽게 풀기 위해 치환했지만 사실 이 정도는 치환도 필요 없습니다. 마이너스 부호 때문에 헷갈리기 쉬우므로 치환한 것인데 자신있다면 굳이 치환하지 않아도 결과는 같습니다. 어쨌든 치환하면 제가 푼 것처럼 계수 b와 c를 구할 수 있습니다. 조건 (나)에서 f(x)에 ln2를 대입하면 0이 된다고 했으므로 x에 ln2를 넣어보면 a는 1이 나옵니다. 그리고 f(x)는 ln2에서 x축과 만난다는 사실을 알 수 있습니다. 이 함수를 그래프로 그려보기 위해 x에 0을 넣어보면 f(x)는 -4가 됩니다.

 

반응형

 

이제 역함수를 풀어야 하는데 역함수 g(x)의 적분구간이 0에서 14까지이므로 f(0)가 0이 되는 곳은 x=ln2임은 이미 구했고, f(x)가 14가 되는 x값을 구하면 됩니다. 여기서도 계산의 편의를 위해 E로 치환하고 풀었지만 자신 있는 분들은 그냥 풀어도 무방합니다. 이렇게 풀면 x가 ln4임을 알 수 있고 그래프로 그리면 제가 그린 것과 같이 될 것입니다. 따라서 f(x)의 적분이 면적 (A)이므로 역함수의 적분은 자연스럽게 면적 (B)가 됩니다. 굳이 f(x)의 역함수를 구해서 풀 필요가 없으므로 괜히 고생하실 필요가 없습니다. 결국 사각형 면적에서 면적 (A)를 빼면 됩니다. 이때 자연상수 e의 적분은 외워 둬야 합니다. 이제부터는 적분만 실수없이 잘하면 되며 정답 p+q = 26입니다.

 

미적분 문제 하나에 극한, 자연상수, 역함수까지 합쳐서 만든 좋은 문제라고 생각됩니다. 출제자들이 신경을 많이 썼다는 느낌이 듭니다. 풀이가 너무 복잡하지도 않고 개념만 잘 알고 있으면 되는 문제들은 오히려 반갑습니다. 물론 저도 한 번에 푼 것은 아닙니다. 기억을 더듬어보고, 책 찾아보고, 인터넷 뒤져보고 해서 관련 개념들을 다시 공부한 뒤에 풀었습니다.

 

다음 문제로 다시 뵙겠습니다.