[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 30번 문제 풀이

엔지니어가 취미로 푸는 수학

 

 

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 30번 문제 풀이

 

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 30번 문제 풀이입니다. 미적분 문제의 끝판왕 문제가 나왔습니다. 먼저 고백부터 하자면 저는 못 풀었습니다. 이런 문제 처음 봅니다. 정답 해설을 몇 번 돌려보고 나서야 이해가 됐습니다. 이해하고 나면 풀 수 있을 것 같다는 생각이 들지만, 그건 어디까지나 정답을 알고 풀었을 때 얘기일 뿐이고 다시 이런 문제를 만나면 풀기 어려울 것 같습니다. 출제자들이 문제를 어디까지 어렵게 낼 수 있는지 확인하고 싶었던 것 같습니다.

 

정답을 보면서 제가 이해한 대로 설명 드리겠습니다. 변수 x가 변하면 f(x)도 변하고, g(x)도 변하고, h(x)도 변합니다. 함수 f(x)와 g(x)는 별도의 함수이고, h(x) 함수는 두 함수의 합성함수입니다. 저 같은 경우는 합성함수까지는 무리가 없었는데 자연상수 e의 지수가 사인함수여서 어떻게 접근해야 할지 난감했었습니다. 답을 보니 사실 별 것은 아니었는데 처음 보는 유형의 문제라서 어렵게 느껴졌던 모양입니다. 물론 풀이과정이 쉽지만은 않지만 생각했던 것보다는 어렵지 않았는데 괜히 겁먹었던 것 같습니다. 함수 f(x)는 3차항의 계수가 양수인 3차함수일뿐 그 이상은 알 수가 없습니다. 관건은 g(x) 함수입니다. 마지막에 -1이 의미심장합니다. 여기 -1을 보고 접근해야 했는데 저는 실패했습니다. 사인 함수는 그래프가 반복되므로 지수가 0이 될 때마다 g(x)가 0이 되는 원리입니다. 지수가 sinπx이므로 x가 정수값을 가질 때마다 지수는 0이 됩니다. 그리고 그때 g(x)도 0이 됩니다. 그리고 sinπx의 최댓값은 1이고, 최솟값은 -1이므로 g(x)의 최댓값과 최솟값도 각각 e-1과 1/e – 1이 됩니다. 그렇게 그래프를 그려보면 대략 제가 그린 것과 같이 그려질 것입니다.

 

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이제 조건을 보겠습니다. (가)에서 합성함수 h(x)가 x=0에서 극댓값 0을 가진다고 했습니다. 그렇다면 h(0)=g(f(0))=0이 성립해야 하고 양변을 미분해서 h’(0)=g’(f(0)) X f’(0)=0도 성립해야 합니다. 그러면 g’(f(0))이 0이거나 f’(0)이 0이어야 합니다. 하지만 g’(f(0))가 0이기 위해서는 접선의 기울기가 0인 곳, 즉 g(x) 함수의 최댓값과 최솟값에서의 x값이므로 1/2, 3/2, 5/2 등이어야 합니다. 앞에서 g(f(0))도 0이어야 한다는 조건에 위배되므로, 결국 f’(0)=0일수밖에 없습니다. 이제 우리는 문제에서 주어진 조건과 합쳐서 f(x)의 그래프를 그릴 수 있습니다. 함수 f(x)는 x=0에서 접선의 기울기가 0이 되므로 (0, f(0))을 지나고, f’(3)=0, f(3)=1/2이므로 (3, 1/2)을 지나는 3차 함수 그래프를 그릴 수 있습니다.

 

함수 f(x)는 열린구간 (0,3)에서 1/2부터 f(0)까지의 값을 갖습니다. 합성함수 h(x)에서 f(x)는 g(x)의 x값입니다. 1/2은 어디인지 알고 있으나 f(0)은 어디인지 알 수가 없습니다. 다만 문제에서 h(x)=1의 실근의 개수가 7개라는 단서만 남은 상태입니다. 최댓값 e-1보다 1은 작기 때문에 g(x) 함수에 1 정도 되는 곳에 수평선을 긋고 g(x)와 교차하는 곳이 바로 h(x)의 실근입니다. 그래프를 제가 발로 그렸는지 확실히 잘 보이지 않지만, 실근이 7개가 되려면 x=1/2 지점부터 x=8까지여야 합니다. g(8)=0일 때 실근이 7개가 발생합니다. 이해가 안 되시면 이 부분을 몇 번씩 반복해서라도 읽고 또 읽고, 그리고 또 그리고 이해하셔야 합니다. 이해를 돕기 위해 다시 예쁘게 그려봤습니다.

 

위 그림과 같이 f(0)=8이어야만 g(8)=0이고 h(x)=1과의 실근, 즉 교차점이 7개가 됩니다. 그것도 x=1/2과 x=8 사이에서만 7개를 가져야 합니다. 주어진 조건 (가)에서 h(x)는 x=0에서 극댓값 0을 가지므로 f(0) 부근에서 함수는 기울기가 증가하는 함수여야 합니다. 그래서 더욱 f(0)=8입니다.

 

여기까지 이해하는 것도 쉽지 않으실 텐데 이제 f(x) 함수를 구해야 합니다. 3차 함수 그래프를 그려놓고 잘 생각해보시면 됩니다. 함수f(x)는 f(0)=8인 것을 구했으므로 열린 구간 내에서 3차 함수는 (0, 8)에서 최댓값을, (3, 1/2)에서 최솟값을 갖는다는 것을 알아냈습니다. 두 좌표 사이의 x축 상의 거리가 3이므로 3차 함수 그래프의 특징상 (9/2, 8)를 지날 수밖에 없습니다. 9/2는 3 + 3/2로 구한 값입니다. 따라서 3차 함수 f(x)는 f(x)-8 = Kx^2(x-9/2)로 정리할 수 있습니다. 양변을 살펴 보시면 x=0을 대입하면 좌변은 8-8이 되어 영이고 우변은 그냥 0이 됩니다. 그리고 x=9/2를 대입해도 f(9/2)=8이므로 좌변과 우변 모두 0이 됩니다.

 

언제나 그렇듯 여기까지만 풀면 이제부터는 산수여서 방심에 의한 실수만 안 하면 됩니다. 이렇게 어려운 문제를 여기까지만 풀고 답을 틀리면 얼마나 안타까울지 감히 상상이 안 됩니다. 하지만 그런 일이 종종 벌어지는 것이 현실입니다. 아픈 만큼 다시 실수하지 않습니다. 차라리 연습할 때 틀리는 경험을 해두는 것도 괜찮습니다. 

 

드디어 미적분까지 다 풀었습니다. 다음에는 기하학으로 다시 찾아뵙겠습니다.