공부하는 엔지니어

엔지니어가 취미로 푸는 수학 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 23번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 23번 문제 풀이입니다. 매우 간단하고 심플한 문제입니다. 3차원 좌표계의 특성만 알면 됩니다. A와 C의 좌표가 x, y, z 좌표를 가졌으므로 3차원 좌표라는 것을 알았다면, 3차원 공간상의 한 점을 x축에 대칭한 점 B를 찾기만 하면 됩니다. 하나의 축에 대칭한다는 의미는 해당 축 상의 좌표를 제외하고 모두 부호가 바뀐다고 생각하면 쉽습니다. 그리고 두 좌표 사이의 거리는 각각의 좌표끼리의 거리를 제곱해서 더한 다음 제곱근을 구하면 됩니다. 기하학 문제에서 가장 기본적인 개념입니다. 공간 상의 거리를 다루는 토목공학에서 특히 중요한 개념이기도 합니다. 저와 같은 토목 엔지니어들에게 ..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 3. 1. 23:30

엔지니어가 취미로 푸는 수학 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 30번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 30번 문제 풀이입니다. 미적분 문제의 끝판왕 문제가 나왔습니다. 먼저 고백부터 하자면 저는 못 풀었습니다. 이런 문제 처음 봅니다. 정답 해설을 몇 번 돌려보고 나서야 이해가 됐습니다. 이해하고 나면 풀 수 있을 것 같다는 생각이 들지만, 그건 어디까지나 정답을 알고 풀었을 때 얘기일 뿐이고 다시 이런 문제를 만나면 풀기 어려울 것 같습니다. 출제자들이 문제를 어디까지 어렵게 낼 수 있는지 확인하고 싶었던 것 같습니다. 정답을 보면서 제가 이해한 대로 설명 드리겠습니다. 변수 x가 변하면 f(x)도 변하고, g(x)도 변하고, h(x)도 변합니다. 함수 f(x)와 g(x)는 별도의 함수..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 28. 23:08

엔지니어가 취미로 푸는 수학 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 29번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 29번 문제 풀이입니다. 오랜만에 전형적인 미적분 문제를 푼 것 같습니다. 극한이고 자연상수를 활용한 문제로 계수값을 알아내고 함수 f(x)를 정리할 수 있어야 합니다. 이런 문제는 다른 문제들도 마찬가지겠지만 유사 문제를 더더욱 많이 풀어보는 수밖에 없습니다. 역함수에 대해 고민하기 전에 주어진 조건으로 f(x)를 알아내야 합니다. 그러기 위해서 풀이를 단순화하기 위해 치환도 적절히 할 수 있어야 합니다. 함수 f(x)는 자연상수 (일명 오일러 상수)에 계수 a, b, c를 갖는 함수입니다. 문제를 보자마자 바로 a, b, c를 찾아야 한다는 것을 간파해야 합니다. 조건 (가)에서 x가..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 27. 23:00

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 28번 문제 풀이입니다. 이 문제 역시 전형적인 미적분 문제라기 보다 기하학 문제에 가깝습니다. 마지막에 극한의 수렴 부분만 제외하면 기하학 문제로 보입니다. 동시에 도형의 넓이를 함수 값으로 주는 독특한 문제이기도 합니다. 점 P와 Q가 호를 따라 움직이면서 변화하는 면적을 함수로 정의했습니다. 이때 f(θ)와 g(θ)는 각각 사각형과 삼각형의 면적이므로 함수를 굳이 써주지 않아도 되는 함수들입니다. 게다가 θ가 주어진 것으로 봐서 거의 무조건 삼각함수로 풀겠구나 하고 생각하면 됩니다. 미적분 문제이지만 처음에는 무조건 기하학으로 접근해야 합니다. 보조선을 몇 개 그어 봅니다. 주어진 θ와 각도가 같은 곳을 모두 찾아 두면 편합니다. 푸는 내내 염두에 두면 좋을 내용..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 23. 21:59

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 27번 문제 풀이입니다. 사실 이 문제는 마지막에 극한으로 풀기 직전까지는 그냥 기하학 문제입니다. R1은 도형이고 색칠한 면적을 S1으로 생각하면 무한등비급수로 생각하면 됩니다. 일단 무조건 S1의 넓이부터 구하면 됩니다. 그러면 자연스럽게 각각의 길이가 구해집니다. 기본적으로 주어진 조건으로 일단 구할 수 있는 제원은 구해놓고 곧바로 코사인 법칙으로 A1P1의 길이를 구할 수 있습니다. A1P1의 길이가 구해지면 제가 풀었던 것처럼 S1의 면적도 구할 수 있고 OE와 OQ1의 길이를 구할 수 있습니다. 길이가 구해지면 문제 풀이는 거의 끝납니다. 왜냐하면 무한등비급수의 정의에서 아래와 같이 배웠기 때문입니다. S1이 1/5인 것을 알았고, 면적의 비가 1:1/5이 ..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 20. 20:54

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 25번 문제 풀이입니다. 이 문제는 극한 문제여서 미적분 문제로 분류된 것 같습니다. 사실 간단한 등비수열 문제입니다. 등비수열의 기본은 an = a1 X r^(n-1)입니다. 이것만 알아도 풀 수 있는 문제입니다. 극한 문제는 문제를 단순화시키는 능력이 중요합니다. 이 문제는 분자와 분모 모두 무한대로 발산하는 등비수열입니다. an = a1 X r^(n-1)인 것을 알고 있으니 an=a1/r X r^n으로 생각할 수 있습니다. 이렇게 바꾸는 이유는 r을 가정하여 식을 단순화시키기 위해서입니다. 분모에서는 3^n과 4^n 두가지 지수함수가 있는데 경험적으로 밑수가 큰 수를 선택하는 것이 좋습니다. 지수 n이 무한대로 발산할 때는 공약수가 없다면 차라리 큰 수를 선택하는..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 18. 08:00

ㅍ 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 23번 문제 풀이입니다. 이 문제는 수열의 극한 중에서도 수렴에 해당하는 문제입니다. 기본적인 자연로그의 공식을 아는지를 묻는 문제입니다. 만약 x가 0으로 수렴할 때 ln(x+1)/x 부분이 lne로 변환될 수 있다는 사실을 모르면 풀기 어렵습니다. 평소에 기본적인 정의들을 증명하는 연습을 해두었다면 쉽게 풀 수 있습니다. 증명은 할 수 있는데 기억이 안난다면 시험 중에 유도해서 풀 수도 없습니다. 시간의 압박 때문입니다. 따라서 평소에 증명해보고 몇 개는 외워버리는 것이 시험에는 도움이 됩니다. 사실 수학을 암기과목으로 외워서 푼다는 것에 저도 거부감이 있지만 일정 부분은 어쩔 수 없다고 인정하는 수밖에 없습니다. 바로 이런 문제가 그 대표적인 예입니다. 문제를..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 17. 21:09

2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 28번 문제 풀이입니다. 이 문제는 확률과 통계를 가장한 기하학 문제라고 봐야 합니다. 다만 이 문제를 풀기 위해서 반드시 알아야 하는 것은 확률밀도함수의 그래프 면적은 항상 1이라는 점입니다. 이것만 알면 되는데, 반대로 이것을 모르면 풀 수가 없는 문제입니다. 삼각형의 면적이 1인 것을 알았기 때문에 이제부터는 기하학적으로 접근하면 됩니다. 문제의 의미는 단순합니다. 첫번째 조건에서 확률이 b보다 작은 구간에서 b보다 큰 구간을 뺐더니 1/4이라는 의미는 삼각형이 이등변삼각형이 아니고 b가 중간에서 오른쪽으로 치우쳐져야 왼쪽 삼각형 면적이 더 커지므로 가능한 조건입니다. 그리고 두번째 조건은 루트 5보다 작은 구간의 면적이 1/2이므로 루트 5는 첫번째 조건에..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 13. 08:00