[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2024년 수능 수학 홀수형 미적분 26번, 27번, 28번 문제 풀이

잡학다식 & 자료 창고

by 그림아이 2023. 12. 8. 21:00

엔지니어가 취미로 푸는 수학

2023년 11월 16일 목요일 2024년도 대학수학능력시험 (수능)이 있었습니다.

수험생 여러분들 고생 많으셨습니다!!!

시험을 잘 보신 분들도 계실 테고, 못 보신 분들도 계실 겁니다. 하지만 분명히 말씀 드리고 싶은 것은 "인생은 장기전"이라는 점입니다. 지금 잠시 시험 잘 봐서 좋은 대학 간다고 인생 끝난 것 아니고, 잠시 시험 못봤다고 인생 끝난 것 아닙니다. 점수가 여러분이 아니고, 점수가 여러분을 표현하는 수식어도 아닙니다. 그것만 명심하시면 됩니다. 살아보니 그렇더라고요.

올해도 어김없이 50대를 바라보는 엔지니어가 취미로 풀어보는 수능 수학 시리즈를 시작하려고 합니다.

풀면서 중간중간 업로드할 예정이니 아마도 한두달은 족히 걸릴 것 같습니다. 취미로 수학만 푸는 것이 아니라 영어도 공부하고, 블로그 관리도 하고, 회사도 나가야 하고, 등등 나름 바쁘게 지내고 있기 때문입니다.

어제 회사에서 프린트해서 집에 가져와 풀어보니 시작은 작년과 비슷하거나 약간 쉽다는 느낌을 받았습니다. 뒤로 갈수록 못 푸는 문제도 나올 것이고 어려워 머리를 쥐어짜겠지만 취미로 푸는 만큼 최대한 즐겨보겠습니다.

수학은 어렵습니다. 누구에게나 수학은 어렵습니다. 세상 만물의 이치를 표현하는 언어이기 때문입니다. 새로운 언어를 배우는데 쉽게 배워질 리가 없습니다. 그저 한 문제를 풀면서 논리적인 구조를 만들어 답을 찾아가는 과정을 쓰는 학문이라고 생각합니다. 답만 찾아서 쓰는 학문이 아니라는 의미입니다. 그래서 저는 손으로 수학 문제를 푸는 것을 좋아합니다.

작년과 마찬가지로 모든 문제를 다 풀고 나서 전체 통합본을 스캔해서 업로드하겠습니다.

자! 여러분 이제 제가 어떻게 풀었는지 함께 보실까요?

오늘도 미적분 문제들을 업로드하겠습니다. 모든 문제들은 이미 다 풀었고 - 아니 보다 정확히는 해설 들으며 공부한 문제가 절반 이상 되고요 - 순서대로, 시간나는 대로 업로드하겠습니다.

미적분과 기하까지 모두 업로드하게 되면 맨 마지막에 손글씨 스캔본을 다운로드 받으실 수 있도록 업로드 하겠습니다.

2024년 수능 수학 홀수형 미적분 26번 문제

미적분 26번 문제입니다.

오늘 뉴스를 보니 올해 수능 만점자가 딱 한 명 나왔다고 합니다. 재수생이었고 재학생 중에는 만점자가 없었다고 합니다. 그런데 뉴스를 보니 단 한 명의 만점자가 수학에서 미적분을 선택했었다고 합니다. 이걸 다 맞혔다고요?

정말 대단합니다. 미적분 선택 문제도 쉽지 않았지만 공통 20번, 21번, 22번을 맞혔다는 것도 신기합니다.

그런데 인터뷰를 보니 의예과를 선택할 것 같습니다. 요즘은 온통 공부 잘하는 사람들은 너도나도 의사가 되려고 하는 것이 대세인 모양인데 많이 씁쓸합니다. 다양한 기초 과학 분야로 진출하지 않으니 국가의 과학 경쟁력이 걱정됩니다.

넋두리였고요. 각설하고...

23번 문제는 작년과 비슷한 문제가 있었습니다. 시각적으로 복잡할 뿐 원리는 간단합니다. 체적 내부에 있는 정사각형 단면의 한변의 길이가 변수가 포함된 함수일 뿐입니다.

단면적을 구한 후 주어진 각도로 부분적분하면 됩니다.

적분의 기본 개념을 아는지 묻는 문제입니다. 이 정도는 풀어줘야 합니다. 복잡해 보이기만 할 뿐 그리 어렵지 않습니다.

2024년 수능 수학 홀수형 미적분 27번 문제

괜히 매개변수 t를 넣어서 어려워 보이지만 결국 미분 문제입니다.

함수로 주어진 곡선에 접하는 직선의 기울기는 미분으로 구할 수 있습니다.

문제는 t라는 변수가 하나 더 있다는 점입니다. 그래서 단순한 방법으로는 풀 수가 없습니다.

곡선과 접선이 모두 한 점에서 만나기 때문에 접점을 가정하는 것이 중요합니다. x=P1이라고 가정하면 접선의 방정식을 만들 수 있습니다. 이 방정식을 만들기 위해 x=P1이라고 가정한 것입니다.

접선이 원점을 지난다고 했으므로 x와 y에 0을 입력하면 식이 단순해집니다.

앞에서 f(t)를 구했기 때문에 f(a)에서 P1을 구할 수 있습니다.

f(t)의 양변을 동시에 미분하면 f'(t)를 구할 수 있고 앞에서 구한 P1을 입력하면 f'(a)를 구할 수 있습니다.

굳이 문제에서 주어지지도 않은 P1이라는 변수를 하나 더 더해서 x, y, f(t), t,a 등 5개나 되는 변수를 포함해서 6개나 되어 복잡해졌습니다. 하지만 이해를 도우려고 한 것일 뿐 t, a, P1은 매개변수 그 이상도 그 이하도 아닙니다.

이 문제의 핵심은 접점을 (x, e^-x + e^t)라고 가정할 수 있는지, 그리고 이 접점을 가지고 접선의 방정식을 만들 수 있는지를 알고 있느냐 입니다.

기본 원리와 개념이 약하면 이렇게 조금만 뒤틀어도 무너지게 됩니다.

그래서 탄탄한 기본기가 항상 중요한 이유입니다.

2024년 수능 수학 홀수형 미적분 28번 문제

정말 이 문제를 보다가 얼마나 욕을 했는지 모릅니다. 일단 문제를 이해 못했고 아무리 관련 공식들과 유사한 문제들을 찾아봐도 제가 찾을 수 있는 것은 없었습니다.

결국 정답 해설을 유튜브로 찾아보고 공부한 뒤에 정리해서 적었을 뿐입니다. 해설을 들으니 무슨 말인지 이해는 할 수 있었지만, 다시 풀어보라고 해도 못할 것 같습니다.

제가 막혔던 부분은 바로 f(x)가 0보다 크거나 같다고 했는데 x가 0보다 작을 때도 f(x)가 0보다 크거나 같은 것까지는 알겠는데 k를 어떻게 처리할지 도저히 이해할 수가 없었습니다.

제가 그린 그래프처럼 대략 저런 모양일 거라는 것은 예측할 수 있었는데 그래서 k는 뭘 어떡해야 할지 도저히 알 수가 없었습니다.

제가 문제집이라도 평소에 좀 풀어보고 EBS 방송이라도 보면서 공부했으면 풀었을지 모르겠지만 1년에 한번 수능으로 최신 수학을 접하는 저로서는 도저히... 아... 핑계 맞습니다. ㅠㅠ

아무튼 이 문제에 심하게 좌절했습니다.

이 문제의 핵심은 k를 그래프로 구현할 수 있는지 입니다. k-2x=t로 치환하는 것은 나중에 작은 스킬 정도이니 걱정 안해도 되지만, 결국 k가 x>0에서 k까지 그래프가 위로 그려지지 않고 계속 0을 유지한다는 것을 이해해야 합니다.

다른건 별로 중요하지 않습니다. 딱 그것만 이해하면 됩니다.

말하고 있는 저도 풀었다고 자랑하며 쓰는 글이 아니니 읽고 또 읽고 이해하시기 바랍니다. 이해하셔야 합니다.

엔지니어가 취미로 푸는 수능 수학 문제 풀이는 계속 됩니다.