[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2024년 수능 수학 홀수형 미적분 29번, 30번 문제 풀이

잡학다식 & 자료 창고

by 그림아이 2023. 12. 9. 13:39

엔지니어가 취미로 푸는 수학

2023년 11월 16일 목요일 2024년도 대학수학능력시험 (수능)이 있었습니다.

수험생 여러분들 고생 많으셨습니다!!!

시험을 잘 보신 분들도 계실 테고, 못 보신 분들도 계실 겁니다. 하지만 분명히 말씀 드리고 싶은 것은 "인생은 장기전"이라는 점입니다. 지금 잠시 시험 잘 봐서 좋은 대학 간다고 인생 끝난 것 아니고, 잠시 시험 못봤다고 인생 끝난 것 아닙니다. 점수가 여러분이 아니고, 점수가 여러분을 표현하는 수식어도 아닙니다. 그것만 명심하시면 됩니다. 살아보니 그렇더라고요.

올해도 어김없이 50대를 바라보는 엔지니어가 취미로 풀어보는 수능 수학 시리즈를 시작하려고 합니다.

풀면서 중간중간 업로드할 예정이니 아마도 한두달은 족히 걸릴 것 같습니다. 취미로 수학만 푸는 것이 아니라 영어도 공부하고, 블로그 관리도 하고, 회사도 나가야 하고, 등등 나름 바쁘게 지내고 있기 때문입니다.

어제 회사에서 프린트해서 집에 가져와 풀어보니 시작은 작년과 비슷하거나 약간 쉽다는 느낌을 받았습니다. 뒤로 갈수록 못 푸는 문제도 나올 것이고 어려워 머리를 쥐어짜겠지만 취미로 푸는 만큼 최대한 즐겨보겠습니다.

수학은 어렵습니다. 누구에게나 수학은 어렵습니다. 세상 만물의 이치를 표현하는 언어이기 때문입니다. 새로운 언어를 배우는데 쉽게 배워질 리가 없습니다. 그저 한 문제를 풀면서 논리적인 구조를 만들어 답을 찾아가는 과정을 쓰는 학문이라고 생각합니다. 답만 찾아서 쓰는 학문이 아니라는 의미입니다. 그래서 저는 손으로 수학 문제를 푸는 것을 좋아합니다.

작년과 마찬가지로 모든 문제를 다 풀고 나서 전체 통합본을 스캔해서 업로드하겠습니다.

자! 여러분 이제 제가 어떻게 풀었는지 함께 보실까요?

오늘도 미적분 문제들을 업로드하겠습니다. 모든 문제들은 이미 다 풀었고 - 아니 보다 정확히는 해설 들으며 공부한 문제가 절반 이상 되고요 - 순서대로, 시간나는 대로 업로드하겠습니다.

미적분과 기하까지 모두 업로드하게 되면 맨 마지막에 손글씨 스캔본을 다운로드 받으실 수 있도록 업로드 하겠습니다.

2024년 수능 수학 홀수형 미적분 29번 문제

미적분 29번 문제입니다. 등비수열의 급수 문제가 미적분에 포함되어 있습니다.

이 문제의 핵심은 등비수열 an과 bn의 첫번째 항의 곱인 급수를 a1b1/(1- αβ)로 변환할 수 있는지 여부입니다. 그리고 각각의 급수를 a1/(1-α)와 b1/(1-β)로 변환할 수 있어야 합니다. 이 부분이 안 되면 이 문제는 풀리지 않습니다.

여기에서 공비의 특징인 α + β = 2αβ를 얻는 것이 중요합니다. 이렇게 해서 주어진 a2n과 a3n이 포함된 식을 정리하면 |α|=1, -3/2, 1/2입니다. 하지만 공비 |α|는 0보다 작을 수 없고 a1/(1-α)에서 |α|는 1이나 -1이 될 수 없기 때문에 |α|=1/2이어야 합니다. 하지만 1/2은 모순이 생기므로 α=-1/2일 수밖에 없습니다. 그렇다면 β=1/4로 구해집니다.

두 등비수열의 공비를 모두 구했으므로 이제는 마지막에 주어진 식에 대입하면 S를 구할 수 있습니다. S만 구하고 끝낼 수도 있는데 굳이 120S를 구하도록 해서 분수가 아닌 자연수로 답을 낼 것을 요구하고 있습니다.

등비수열의 급수 문제에서 가장 전형적이고 많이 나오는 유형의 문제입니다. 이런 문제만 평소에 다양하게 풀어 보면 크게 어려움은 없을 것입니다.

2024년 수능 수학 홀수형 미적분 30번 문제

미적분 30번 문제입니다. 솔직히 이 문제를 못 풀었습니다. 정답 해설을 보면서 이해했고, 제가 이해한대로 정리해봤습니다.

도함수인 f'(x)의 그래프를 그리는 것까지는 저도 해봤는데 그 다음은 어떻게 풀어나갈지 막막했습니다. 결국 오른쪽에 제가 정답 해설을 유튜브로 보면서 그린 f(x)의 그래프를 그려야 합니다. f'(x)로부터 f(x)를 sinx의 제곱함수로 만들 수 있어야 합니다. 이때 적분상수 C는 무시해도 됩니다.

h(x)가 f(x)-g(x)의 적분값이므로 h'(x)=f(x)-g(x)가 됩니다. 합성함수 사이의 관계를 완전히 이해하지 못한 저는 이부분을 생각하지 못했습니다. x=a에서 극대 또는 극소라고 했으므로 f''(x)를 구해야 한다는 생각도 하지 못했습니다. 이렇게 하면 극대와 극소가 생기는 곳을 알 수 있고 모두 변곡점임을 알 수 있습니다.

사실 저도 저지만 이걸 맞히는 고3 수험생들이 더 신기합니다. 아마 많은 학생들이 못 풀었을 거라고 생각하지만 누군가는 맞히기도 하니 참 할 말도 없습니다. 저는 이런게 킬러 문항이라 생각하는데 수능 만점자들은 킬러 문항이 없었다고 하더군요.

시험을 잘 본 사람들에게는 킬러 문항이 의미가 없을 것입니다. 그런 수험생들 맞히라고 낸 문제니까요. 문제는 전체 학생들을 대상으로 했을 때입니다. 정답률이 몇%나 될지 모르겠지만 정답률이 20% 미만이면 그게 킬러 문항 아닐까요? 상위 20%만 맞히라고 낸 문제고 나머지 80%는 틀리라고 낸 문제를 킬러 문항이라고 하지 않을까요? 그 기준이 10%인지, 20%인지를 정하는게 교육부가 할 일일 테고요.

아무튼 30번 문제는 변곡점마다 극대와 극소가 생긴다는 것을 찾아내고 이해하기만 하면 되는 문제입니다.

정리해보니 답안은 짧지만 이걸 완전히 이해하느냐 못하느냐가 중요한 문제인 것 같습니다.

드디어 미적분 문제가 끝났습니다.

엔지니어가 취미로 푸는 수능 수학 문제 풀이는 계속 됩니다.