[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2024년 수능 수학 홀수형 기하 26번, 27번, 28번 문제 풀이

엔지니어가 취미로 푸는 수학

 

2023년 11월 16일 목요일 2024년도 대학수학능력시험 (수능)이 있었습니다.

 

수험생 여러분들 고생 많으셨습니다!!!

 

 

시험을 잘 보신 분들도 계실 테고, 못 보신 분들도 계실 겁니다. 하지만 분명히 말씀 드리고 싶은 것은 "인생은 장기전"이라는 점입니다. 지금 잠시 시험 잘 봐서 좋은 대학 간다고 인생 끝난 것 아니고, 잠시 시험 못봤다고 인생 끝난 것 아닙니다. 점수가 여러분이 아니고, 점수가 여러분을 표현하는 수식어도 아닙니다. 그것만 명심하시면 됩니다. 살아보니 그렇더라고요.

 

 

 

올해도 어김없이 50대를 바라보는 엔지니어가 취미로 풀어보는 수능 수학 시리즈를 시작하려고 합니다.

 

풀면서 중간중간 업로드할 예정이니 아마도 한두달은 족히 걸릴 것 같습니다. 취미로 수학만 푸는 것이 아니라 영어도 공부하고, 블로그 관리도 하고, 회사도 나가야 하고, 등등 나름 바쁘게 지내고 있기 때문입니다.

 

어제 회사에서 프린트해서 집에 가져와 풀어보니 시작은 작년과 비슷하거나 약간 쉽다는 느낌을 받았습니다. 뒤로 갈수록 못 푸는 문제도 나올 것이고 어려워 머리를 쥐어짜겠지만 취미로 푸는 만큼 최대한 즐겨보겠습니다.

 

 

 

수학은 어렵습니다. 누구에게나 수학은 어렵습니다. 세상 만물의 이치를 표현하는 언어이기 때문입니다. 새로운 언어를 배우는데 쉽게 배워질 리가 없습니다. 그저 한 문제를 풀면서 논리적인 구조를 만들어 답을 찾아가는 과정을 쓰는 학문이라고 생각합니다. 답만 찾아서 쓰는 학문이 아니라는 의미입니다. 그래서 저는 손으로 수학 문제를 푸는 것을 좋아합니다. 

 

작년과 마찬가지로 모든 문제를 다 풀고 나서 전체 통합본을 스캔해서 업로드하겠습니다.

 

자! 여러분 이제 제가 어떻게 풀었는지 함께 보실까요?

 

 

 

이제 마지막인 기하 문제들을 업로드하겠습니다. 모든 문제들은 이미 다 풀었고 - 아니 보다 정확히는 해설 들으며 공부한 문제가 절반 이상 되고요 - 순서대로, 시간나는 대로 업로드하겠습니다.

 

모두 업로드하게 되면 맨 마지막에 손글씨 스캔본을 다운로드 받으실 수 있도록 업로드 하겠습니다.

 

 

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2024년 수능 수학 홀수형 기하 26번 문제

 

2024년 수능 수학 홀수형 기하 26번 문제

 

기하 26번 문제입니다.

 

이 문제는 말로 써 있지만 제가 그린 것처럼 그림만 잘 그려서 이해할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

 

기하에서 단골 문제 유형은 바로 정사영 문제입니다. 아무래도 공학이나 이과 계열로 나아가게 되면 실제로 사용할 수 있는 개념이기 때문인 것으로 생각됩니다. 미적분과 확률과 통계는 말할 것도 없고, 기하도 은근히 많이 사용됩니다.

 

그림만 잘 그리면 삼각형 A'B'P의 넓이를 구할 수 있고 삼각형 ABP와 평면 α와의 사이의 각도를 구할 수 있습니다. 정사영 문제는 거의 반사적으로 평면과의 각도를 구해야 합니다. 나중에 쓸지 안 쓸지 몰라도 그냥 각도는 구하는 습관을 가지는 것이 좋습니다. 정사영된 선분의 길이는 cosθ로 구할 수 있습니다.

 

cosθ만 구하면 간단하게 PM의 길이를 구할 수 있습니다.

 

기하는 그림을 잘 그리고, 그림을 잘 이해하는 것에서 시작해서 끝납니다.

 

 

2024년 수능 수학 홀수형 기하 27번 문제

 

2024년 수능 수학 홀수형 기하 27번 문제

 

기하 27번 문제입니다. 포물선 문제가 나왔습니다.

 

포물선은 초점과 준선 사이의 기본 원리만 이해하면 됩니다. 포물선 위의 어떤 점이든 초점과의 거리와 준선에 내린 수선의 발의 거리가 같습니다. 제가 쓴 것처럼 CF=CC', DF=DD', AF=AB입니다. 그래야만 합니다.

 

그리고 FF'=4여야 합니다. 그게 초점과 준선의 정의입니다. 저는 문제를 풀다가 복잡해져서 삼각형만 따로 떼어서 다시 그렸습니다. 그랬더니 한 눈에 문제가 보이게 됩니다. 닮은 삼각형이 3개가 되니 길이의 비와 피타고라스의 정리로 모든 길이를 구할 수 있습니다. 

 

풀다 보면 딱 막히게 되는데 A점의 좌표를 구해서 나머지를 풀 수 있습니다.

 

복잡해 보이지만, 몇 번 읽고, 그려보고, 풀다 보면 금방 이해되실 것입니다. 이런 문제 몇 번만 풀다 보면 작은 실수들만 조심하면 푸시는데 큰 문제 없을 것입니다.

 

 

2024년 수능 수학 홀수형 기하 28번 문제

 

2024년 수능 수학 홀수형 기하 28번 문제

 

기하 28번 문제입니다.

 

이 문제를 보자마자 '우와~~~ 복잡하다'라는 생각 모두 하셨죠?

 

그림을 엄청 복잡하게 그려 놓아서 저도 처음부터 겁을 먹고 시작했는데 문제를 읽고 보니 복잡하긴 한데 해볼만하다는 생각을 했습니다.

 

복잡하더라도 정신 꽉 붙들어 매고 차근차근 풀어 보시면 됩니다. 특히 먼저 β 평면부터 그려보는 것이 중요합니다. 삼각형의 닮음비를 이용해서 초점 사이의 거리를 구할 수 있습니다.

 

그리고 α 평면에서 원 위의 점인 P의 위치를 잡고 PH'을 피타고라스의 정리로 구할 수 있습니다. AB 사이의 거리, 원의 지름이 18이므로 OP는 9이기 때문에 쉽게 구할 수 있습니다.

 

그리고 나서 기하에서 평면 문제의 핵심은 뭐다? 바로 평면들 사이의 각도 문제입니다. 어김없이 여기서도 cosθ를 구하라고 합니다. 우리는 PH'과 HH'의 길이를 구해놨으므로 쉽게 cosθ를 구할 수 있습니다.

 

이 정도 문제는 괜찮으시죠? 그림에 쫄면 안 됩니다. 이렇게 복잡한 문제 몇 번 풀어 보면서 연습해 두시면 됩니다.

 

엔지니어가 취미로 푸는 수능 수학 문제 풀이는 계속 됩니다.

 

 

 

 

참고할만한 다른 자료들

 

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[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 손글씨 문제 풀이 풀버전 스캔 파일 다운로드