[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2024년 수능 수학 홀수형 기하 29번, 30번 문제 풀이

엔지니어가 취미로 푸는 수학

 

2023년 11월 16일 목요일 2024년도 대학수학능력시험 (수능)이 있었습니다.

 

수험생 여러분들 고생 많으셨습니다!!!

 

 

시험을 잘 보신 분들도 계실 테고, 못 보신 분들도 계실 겁니다. 하지만 분명히 말씀 드리고 싶은 것은 "인생은 장기전"이라는 점입니다. 지금 잠시 시험 잘 봐서 좋은 대학 간다고 인생 끝난 것 아니고, 잠시 시험 못봤다고 인생 끝난 것 아닙니다. 점수가 여러분이 아니고, 점수가 여러분을 표현하는 수식어도 아닙니다. 그것만 명심하시면 됩니다. 살아보니 그렇더라고요.

 

 

 

올해도 어김없이 50대를 바라보는 엔지니어가 취미로 풀어보는 수능 수학 시리즈를 시작하려고 합니다.

 

풀면서 중간중간 업로드할 예정이니 아마도 한두달은 족히 걸릴 것 같습니다. 취미로 수학만 푸는 것이 아니라 영어도 공부하고, 블로그 관리도 하고, 회사도 나가야 하고, 등등 나름 바쁘게 지내고 있기 때문입니다.

 

어제 회사에서 프린트해서 집에 가져와 풀어보니 시작은 작년과 비슷하거나 약간 쉽다는 느낌을 받았습니다. 뒤로 갈수록 못 푸는 문제도 나올 것이고 어려워 머리를 쥐어짜겠지만 취미로 푸는 만큼 최대한 즐겨보겠습니다.

 

 

 

수학은 어렵습니다. 누구에게나 수학은 어렵습니다. 세상 만물의 이치를 표현하는 언어이기 때문입니다. 새로운 언어를 배우는데 쉽게 배워질 리가 없습니다. 그저 한 문제를 풀면서 논리적인 구조를 만들어 답을 찾아가는 과정을 쓰는 학문이라고 생각합니다. 답만 찾아서 쓰는 학문이 아니라는 의미입니다. 그래서 저는 손으로 수학 문제를 푸는 것을 좋아합니다. 

 

작년과 마찬가지로 모든 문제를 다 풀고 나서 전체 통합본을 스캔해서 업로드하겠습니다.

 

자! 여러분 이제 제가 어떻게 풀었는지 함께 보실까요?

 

 

 

이제 마지막 기하 문제들을 업로드하겠습니다.

 

이번 글을 마지막으로 모두 업로드하게 되니 다음 번에 손글씨 스캔본을 다운로드 받으실 수 있도록 업로드 하겠습니다.

 

기대해 주시기 바랍니다.

 

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2024년 수능 수학 홀수형 기하 29번 문제

 

2024년 수능 수학 홀수형 기하 29번 문제

 

기하 29번 문제입니다.

 

쌍곡선 문제를 이러저리 꼬아놨습니다. 하지만 쌍곡선의 기본 성질만 알면 풀 수 있는 문제입니다.

 

반복해서 말씀 드리지만, 기하는 그림을 잘 그려야 합니다. 특히 쌍곡선은 점근선을 그리고 초점만 찍으면 끝입니다. 그림만 잘 그리면 주축의 길이가 주어졌기 때문에 주어진 조건만 잘 이해하면 됩니다.

 

삼각형 PF'F가 이등변 삼각형이라고 했습니다. 그런데 PF'-PF=6이기 때문에 경우의 수는 두 가지밖에 없습니다. PF'=FF'이거나 PF=FF'이어야 합니다.

 

Case1을 PF'=FF'라고 가정하면, 삼각형 PQF의 둘레가 28이라고 주어졌기 때문에 식을 만들 수 있습니다. 그런데 쌍곡선 위의 점 Q도 QF-QF'=6이어야 하기 때문에 식을 단순하게 만들 수 있습니다. 왜냐하면 PQ+QF'=PF'이기 때문입니다. 그렇게 하면 c=7을 구할 수 있습니다.

 

같은 방식으로 Case2를 PF=FF'로 가정하면 c=4를 구할 수 있습니다.

 

이런 문제는 평소에 조금만 열심히 공부했다면 충분히 풀 수 있는 문제였을 것입니다.

 

공통 문제와 미적분에 비하면 뭐 이 정도면 괜찮다고 생각합니다.

 

 

2024년 수능 수학 홀수형 기하 30번 문제

 

2024년 수능 수학 홀수형 기하 30번 문제

 

드디어 기하 30번 마지막 문제입니다.

 

기하의 끝판왕이라고 할 수 있는 벡터를 응용한 기하 문제입니다. 문제는 짧지만 벡터를 기하 문제로 확장시켜 이해할 수 있는지를 묻고 있습니다.

 

먼저 그림을 잘 그려야 합니다. 정삼각형을 그리고 D, E, F 점을 찾고 조건을 살펴 봅니다.

 

(가)에서는 벡터 DP=EQ=FR=1로 크기가 모두 같다고 합니다. 방향은 아직 모르겠지만 크기는 모두 같습니다.

 

(나) 벡터 AX는 벡터 3개의 합으로 정의했습니다.

 

그런데 이 벡터 AX가 최대가 되는 PQR의 넓이 S를 먼저 구해야 합니다.

 

솔직히 저는 여기서 막혔습니다. 그래서 쿨하게 정답 해설을 보고 이해했습니다.

 

조건 (가)에서 벡터 3개의 크기가 같다는 것은 각각 D, E, F에서 반지름 1인 원 위에 P, Q, R이 위치해 있다는 것을 의미합니다. 저는 이것부터 이해를 못했습니다. 알고 나면 별 것 아닌데 참 답답하기도 하고 한심하기도 했습니다.

 

그리고 조건 (나)에서 정의된 벡터 AX가 최대가 되기 위해서는 벡터들의 방향이 모두 같아야 합니다. 그래야 일직선 상에 있게 되기 때문입니다. 이 부분을 이해하면 문제는 단순해집니다. 삼각형 PQR과 삼각형 DEF의 넓이가 같기 때문입니다. 저는 이해하기 쉽게 오른쪽 방향으로 같은 각도로 PQR을 정의해봤습니다만 어디든 상관없고 결국 삼각형 DEF만 그려서 정삼각형 내부의 또 다른 정삼각형의 넓이를 구하는 문제로 바뀌게 됩니다.

 

이제 삼각형 DEF의 넓이는 삼각형 ABC에서 삼각형 AFD의 넓이 3개를 빼면 됩니다. 그러니 삼각형 AFD의 넓이만 구하면 해결됩니다. 삼각형 AFD의 넓이를 구하려면 높이를 알아야 하는데 cos60으로 간단하게 구할 수 있습니다. 그러면 면적 S를 구할 수 있습니다.

 

여기서 끝내면 안되겠죠? 꺼진 불도 다시 보듯이, 끝난 문제도 다시 잘 봐야 합니다. 문제는 S를 구하는 것이 아니라 16S^2을 구하는 것입니다.

 

드디어 모든 문제를 다 풀었습니다.

 

다음글은 손글씨 문제를 스캔해서 다운로드 받으실 수 있도록 업로드하겠습니다.

 

 

 

참고할만한 다른 자료들

 

[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2024년 수능 수학 홀수형 미적분 29번, 30번 문제 풀이 (tistory.com)

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[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 손글씨 문제 풀이 풀버전 스캔 파일 다운로드 (tistory.com)

[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2023년 수능 수학 손글씨 문제 풀이 풀버전 스캔 파일 다운로드