공부하는 엔지니어

엔지니어가 취미로 푸는 수학ㅍ 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 30번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 30번 문제 풀이입니다. 드디어 2023년 수능 수학의 마지막 문제입니다. 기하학의 마지막 문제 답게 아예 3차원 문제가 나왔습니다. 사실 복잡해 보이는 그림에 비해 풀이는 그리 어렵다는 생각이 들지 않았습니다. 관건은 문제를 얼마나 빨리 정확하게 이해하느냐인 것 같습니다. 일단 정사면체 ABCD가 있습니다. 그리고 삼각형 BCD의 외심을 O라고 할 때, O를 중심으로 하는 구 S가 있습니다. 정사면체 ABCD는 구 S를 뚫고 올라오는데, 이때 정사면체와 구가 접하는 세 점을 PQR이라고 해보겠습니다. 그리고 점 P이 접하는 평면을 α라고 할 때, 삼각형 PQR의 평면 α 위에 투영한 ..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 3. 7. 23:00

엔지니어가 취미로 푸는 수학 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 28번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 28번 문제 풀이입니다. 기하학 문제라고 해서 더 다양하게 나올 줄 알았는데 포물선과 타원이 나오더니 이번에는 쌍곡선입니다. 학력고사 세대인 제가 고등학생일 때는 쌍곡선은 배우기만 했지 실제로 문제에서는 잘 나오지 않았었습니다. 그래도 혹시 몰라 공식을 외우곤 했었지만 실제로 써먹을 일이 많지 않아서 완전히 잊어버리고 있었습니다. 쌍곡선의 정의만 알면 되는 문제인데, 반대로 정의를 모를 경우 절대로 풀 수 없는 문제이기도 합니다. 기하학은 기본 도형인 원, 삼각형, 사각형 외에 포물선과 타원만 알면 될 것 같았는데 이제는 쌍곡선까지 알아야 하는 모양입니다. 요즘 수험생들은 참 힘들게 공부..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 3. 5. 23:00

엔지니어가 취미로 푸는 수학 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 27번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 27번 문제 풀이입니다. 전형적인 기하학 문제입니다. 제가 말씀 드렸었습니다. 기하학은 뭐다? 기하학은 보조선을 잘 긋는 것부터 시작합니다. 이 문제가 바로 전형적인 보조선 연습용 문제입니다. 처음에 선분 AB와 AC만 보고 무슨 문제인지 감이 잘 안 오는 분들도 계실 것입니다. 특히 AC가 엇갈려서 각을 이루고 있는지 몰랐던 분들도 계실 수 있습니다. 저도 처음에는 그랬습니다. 그런데 문제가 평면 ABC가 평면 α와 이루는 예각의 크기를 θ2라고 한다는 것에서 알았습니다. 아... 엇갈려 있구나... 하고 말입니다. 게다가 문제가 cosθ2를 구하라고 하고 sinθ1=4/5라는 조건이 ..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 3. 4. 23:00

엔지니어가 취미로 푸는 수학 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 26번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 26번 문제 풀이입니다. 벡터 문제가 기하학에 포함되었다는 것을 처음 알았습니다. 그러고 보면 확률과 통계, 미적분, 기하학으로 너무 단순화시켜 분류하다 보니 어쩔 수 없었던 모양입니다. 이미 저는 다 푼 상태인데 이상한 점은 요즘은 복소수가 없는 모양입니다. 어떤 문제도 계산 과정에 일부라도 복소수가 포함된 문제가 전혀 없습니다. 수학에서 복소수는 매우 중요한 개념인데 의아했습니다. 수능 수학 시험에서 다루지 않는 것을 보니 고등학교 과정에서는 빠진 것 같은데 맞나요? 아시는 분은 댓글 하나만 남겨주시면 감사하겠습니다. 어쨌든 이 문제는 벡터의 기본 개념만 알면 풀 수 있는 간단한 문제..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 3. 3. 23:00

엔지니어가 취미로 푸는 수학 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 25번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 25번 문제 풀이입니다. 이번에는 기하학 중에서 타원 문제입니다. 타원은 무조건 초점만 제대로 알면 됩니다. 아래 왼쪽 그림을 보시면 되며, 그래프 상으로 장축 2a와 단축 2b를 갖고 초점을 (-c, 0)과 (c, 0)을 가지면 타원이 됩니다. 이때 축과 초점 사이의 관계는 C^2=a^2-b^2입니다. 오른쪽 그림은 반대로 장축 2b와 단축 2a를 갖고 초점을 (-c, 0)과 (c, 0)이며, 이때 축과 초점 사이의 관계는 C^2=b^2-a^2입니다. 여기서 주의할 점은 왼쪽이든 오른쪽이든 타원의 방정식은 변하지 않는다는 점입니다. 그리고 타원 위의 임의의 점 P에서 초점까지의 거리의 ..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 3. 2. 23:00

엔지니어가 취미로 푸는 수학 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 23번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 기하학 23번 문제 풀이입니다. 매우 간단하고 심플한 문제입니다. 3차원 좌표계의 특성만 알면 됩니다. A와 C의 좌표가 x, y, z 좌표를 가졌으므로 3차원 좌표라는 것을 알았다면, 3차원 공간상의 한 점을 x축에 대칭한 점 B를 찾기만 하면 됩니다. 하나의 축에 대칭한다는 의미는 해당 축 상의 좌표를 제외하고 모두 부호가 바뀐다고 생각하면 쉽습니다. 그리고 두 좌표 사이의 거리는 각각의 좌표끼리의 거리를 제곱해서 더한 다음 제곱근을 구하면 됩니다. 기하학 문제에서 가장 기본적인 개념입니다. 공간 상의 거리를 다루는 토목공학에서 특히 중요한 개념이기도 합니다. 저와 같은 토목 엔지니어들에게 ..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 3. 1. 23:30

2023년 수능 수학 홀수형 확률과 통계 28번 문제 풀이입니다. 이 문제는 확률과 통계를 가장한 기하학 문제라고 봐야 합니다. 다만 이 문제를 풀기 위해서 반드시 알아야 하는 것은 확률밀도함수의 그래프 면적은 항상 1이라는 점입니다. 이것만 알면 되는데, 반대로 이것을 모르면 풀 수가 없는 문제입니다. 삼각형의 면적이 1인 것을 알았기 때문에 이제부터는 기하학적으로 접근하면 됩니다. 문제의 의미는 단순합니다. 첫번째 조건에서 확률이 b보다 작은 구간에서 b보다 큰 구간을 뺐더니 1/4이라는 의미는 삼각형이 이등변삼각형이 아니고 b가 중간에서 오른쪽으로 치우쳐져야 왼쪽 삼각형 면적이 더 커지므로 가능한 조건입니다. 그리고 두번째 조건은 루트 5보다 작은 구간의 면적이 1/2이므로 루트 5는 첫번째 조건에..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 13. 08:00

2023년 수능 수학 홀수형 공통 22번 문제 풀이입니다. 이 문제에 대해서 솔직히 이실직고 (以實直告)하고 시작하겠습니다. 저는 이 문제를 못 풀었습니다. 아무리 수학책과 인터넷을 검색해봐도 모르겠어서 포기했습니다. 그래서 어쩔 수 없이 처음으로 정답과 풀이과정을 찾아봤습니다. 요즘은 유튜브로 친절하게 해설들을 해주더군요. 하지만 풀이 과정을 보면서도 이해가 안되서 관련 이론들을 다룬 인터넷 사이트들을 찾아봐 가며 이해했습니다. 이렇게 문제 내면 어쩌라는 것인지 대책이 없었습니다. 정답 풀이과정을 보면서 거꾸로 이해했습니다. 좌절했지만 언제까지나 시간을 무한정 쓸 수도 없는 노릇이어서 어쩔 수 없었습니다. 제가 몰랐던 부분은 크게 두 가지였습니다. 첫번째는 평균값의 정리였고, 두번째는 변곡점의 등분배였..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 8. 08:00