공부하는 엔지니어

엔지니어가 취미로 푸는 수학 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 29번 문제 풀이 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 29번 문제 풀이입니다. 오랜만에 전형적인 미적분 문제를 푼 것 같습니다. 극한이고 자연상수를 활용한 문제로 계수값을 알아내고 함수 f(x)를 정리할 수 있어야 합니다. 이런 문제는 다른 문제들도 마찬가지겠지만 유사 문제를 더더욱 많이 풀어보는 수밖에 없습니다. 역함수에 대해 고민하기 전에 주어진 조건으로 f(x)를 알아내야 합니다. 그러기 위해서 풀이를 단순화하기 위해 치환도 적절히 할 수 있어야 합니다. 함수 f(x)는 자연상수 (일명 오일러 상수)에 계수 a, b, c를 갖는 함수입니다. 문제를 보자마자 바로 a, b, c를 찾아야 한다는 것을 간파해야 합니다. 조건 (가)에서 x가..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 27. 23:00

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 28번 문제 풀이입니다. 이 문제 역시 전형적인 미적분 문제라기 보다 기하학 문제에 가깝습니다. 마지막에 극한의 수렴 부분만 제외하면 기하학 문제로 보입니다. 동시에 도형의 넓이를 함수 값으로 주는 독특한 문제이기도 합니다. 점 P와 Q가 호를 따라 움직이면서 변화하는 면적을 함수로 정의했습니다. 이때 f(θ)와 g(θ)는 각각 사각형과 삼각형의 면적이므로 함수를 굳이 써주지 않아도 되는 함수들입니다. 게다가 θ가 주어진 것으로 봐서 거의 무조건 삼각함수로 풀겠구나 하고 생각하면 됩니다. 미적분 문제이지만 처음에는 무조건 기하학으로 접근해야 합니다. 보조선을 몇 개 그어 봅니다. 주어진 θ와 각도가 같은 곳을 모두 찾아 두면 편합니다. 푸는 내내 염두에 두면 좋을 내용..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 23. 21:59

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 27번 문제 풀이입니다. 사실 이 문제는 마지막에 극한으로 풀기 직전까지는 그냥 기하학 문제입니다. R1은 도형이고 색칠한 면적을 S1으로 생각하면 무한등비급수로 생각하면 됩니다. 일단 무조건 S1의 넓이부터 구하면 됩니다. 그러면 자연스럽게 각각의 길이가 구해집니다. 기본적으로 주어진 조건으로 일단 구할 수 있는 제원은 구해놓고 곧바로 코사인 법칙으로 A1P1의 길이를 구할 수 있습니다. A1P1의 길이가 구해지면 제가 풀었던 것처럼 S1의 면적도 구할 수 있고 OE와 OQ1의 길이를 구할 수 있습니다. 길이가 구해지면 문제 풀이는 거의 끝납니다. 왜냐하면 무한등비급수의 정의에서 아래와 같이 배웠기 때문입니다. S1이 1/5인 것을 알았고, 면적의 비가 1:1/5이 ..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 20. 20:54

2023년 수능 수학 홀수형 미적분 25번 문제 풀이입니다. 이 문제는 극한 문제여서 미적분 문제로 분류된 것 같습니다. 사실 간단한 등비수열 문제입니다. 등비수열의 기본은 an = a1 X r^(n-1)입니다. 이것만 알아도 풀 수 있는 문제입니다. 극한 문제는 문제를 단순화시키는 능력이 중요합니다. 이 문제는 분자와 분모 모두 무한대로 발산하는 등비수열입니다. an = a1 X r^(n-1)인 것을 알고 있으니 an=a1/r X r^n으로 생각할 수 있습니다. 이렇게 바꾸는 이유는 r을 가정하여 식을 단순화시키기 위해서입니다. 분모에서는 3^n과 4^n 두가지 지수함수가 있는데 경험적으로 밑수가 큰 수를 선택하는 것이 좋습니다. 지수 n이 무한대로 발산할 때는 공약수가 없다면 차라리 큰 수를 선택하는..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 18. 08:00

ㅍ 2023년 수능 수학 홀수형 미적분 23번 문제 풀이입니다. 이 문제는 수열의 극한 중에서도 수렴에 해당하는 문제입니다. 기본적인 자연로그의 공식을 아는지를 묻는 문제입니다. 만약 x가 0으로 수렴할 때 ln(x+1)/x 부분이 lne로 변환될 수 있다는 사실을 모르면 풀기 어렵습니다. 평소에 기본적인 정의들을 증명하는 연습을 해두었다면 쉽게 풀 수 있습니다. 증명은 할 수 있는데 기억이 안난다면 시험 중에 유도해서 풀 수도 없습니다. 시간의 압박 때문입니다. 따라서 평소에 증명해보고 몇 개는 외워버리는 것이 시험에는 도움이 됩니다. 사실 수학을 암기과목으로 외워서 푼다는 것에 저도 거부감이 있지만 일정 부분은 어쩔 수 없다고 인정하는 수밖에 없습니다. 바로 이런 문제가 그 대표적인 예입니다. 문제를..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 17. 21:09

2023년 수능 수학 홀수형 공통 20번 문제 풀이입니다. 이 문제는 정말 기본에 충실한 문제라고 할 수 있습니다. 뉴턴 형님과 라이프니츠 형님이 미분과 적분을 만드신 이유가 바로 물체의 움직임, 즉 운동을 수학적으로 설명하기 위함이었습니다. 그래서 두 형님이 거리, 시간, 속도, 가속도의 상관 관계를 멋지게 풀어낸 것이 바로 미분과 적분입니다. 거리를 시간으로 미분한 것을 속도, 속도를 시간으로 미분한 것을 가속도라고 정의했고, 반대로 돌아가는 것이 적분입니다. 17세기에 어떻게 이런 생각을 하셨는지 지금 생각해도 천재들이십니다. 문제를 글로 풀어보면, 문제에서 주어진 점 P는 수직선 위를 움직이는 직선 운동을 하고 있는 중입니다. 시간에 따라 속도와 가속도가 변하는데 0초에서 2초 사이에서 속도의 변..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 6. 23:00

2023년 수능 수학 홀수형 6번 문제입니다. 3차 함수의 극대와 극소 관련 문제여서 기하학 문제이지만, 저는 미분으로 풀었습니다. 사실 함수의 극대와 극소는 해당 좌표에서 접선을 그으면 기울기가 0이라는 의미입니다. 잘 생각해보면 당연한 얘기입니다. 몇차 함수든 극대와 극소의 값을 가지려면 오목하거나 볼록하거나 둘 중 하나이므로 변곡점에서의 접선의 기울기는 항상 0일 수밖에 없습니다. 그래서 함수를 미분하면 그 값은 0이 되어야 하고 x 좌표값을 입력하면 a를 구할 수 있고, a 값을 상수로 입력하면 2차 방정식이 되므로 근의 공식으로 x의 해를 구할 수 있습니다. 그렇게 각각 a와 b를 구할 수 있습니다. 극대와 극소가 아니라 구간 내에서 최댓값과 최솟값이라면 얘기는 달라질 수 있지만 극대와 극소는 ..

잡학다식 & 자료 창고 2022. 11. 26. 05:00

2023년 수능 수학 홀수형 4번 문제입니다. 선택하라는 얘기가 없는 것 보니 공통 문제인 것 같습니다. 저는 다시 말씀 드리지만 마지막 학력고사 세대로 요즘 입시 제도는 아무것도 모릅니다. 딸 아이가 자라서 수험생이 되면 벼락치기로 입시제도를 공부해야 할 것 같습니다. 물론 그 전에 뭐든지 미리 해두고 싶어서 지금 좋아했던 수학 문제부터 도전해 보는 의미도 있습니다. 4번 문제는 제가 좋아하는 미분 문제입니다. 사실 정통 미분 문제라 보기는 어렵고, 함수들이 다른 변수와 합쳐진 형태와 다항식 등을 이해하면 금방 풀 수 있는 문제입니다. 곱셈으로 연결된 변수나 함수는 각각 미분해서 풀어서 쓰면 됩니다. 하지만 항상 같은 말의 동어 반복입니다만, 방심은 금물입니다. 모든 시험 문제가 마찬가지지만, 시험은 ..

잡학다식 & 자료 창고 2022. 11. 22. 22:05