공부하는 엔지니어

2023년 수능 수학 홀수형 공통 20번 문제 풀이입니다. 이 문제는 정말 기본에 충실한 문제라고 할 수 있습니다. 뉴턴 형님과 라이프니츠 형님이 미분과 적분을 만드신 이유가 바로 물체의 움직임, 즉 운동을 수학적으로 설명하기 위함이었습니다. 그래서 두 형님이 거리, 시간, 속도, 가속도의 상관 관계를 멋지게 풀어낸 것이 바로 미분과 적분입니다. 거리를 시간으로 미분한 것을 속도, 속도를 시간으로 미분한 것을 가속도라고 정의했고, 반대로 돌아가는 것이 적분입니다. 17세기에 어떻게 이런 생각을 하셨는지 지금 생각해도 천재들이십니다. 문제를 글로 풀어보면, 문제에서 주어진 점 P는 수직선 위를 움직이는 직선 운동을 하고 있는 중입니다. 시간에 따라 속도와 가속도가 변하는데 0초에서 2초 사이에서 속도의 변..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 6. 23:00

2023년 수능 수학 홀수형 공통 19번 문제 풀이입니다. 문제는 짧고 간단한데 생각을 잘해야 하는 문제입니다. 함수를 기하학적으로 연상할 수 있는지를 묻는 문제입니다. 저도 푸는데 한참 걸렸습니다. 출제자가 뭘 원하는지 알기 위해서 3차 함수 그래프를 연습장에 몇 번을 그려봤는지 모르겠습니다. 3차 함수는 아시다시피 3개의 근을 갖습니다. 보통의 경우는 그렇습니다. 그런데 그 중에 두 개가 양의 실근이고 문제에서 주어진 f(x) 함수의 3차항 계수가 양이므로 그래프 모양이 달라질 일은 없습니다. 그러니 3차 함수가 실근이 두 개 있는 경우가 두 가지가 있으니 그래프로 그려봤습니다. 그 사이에서 그래프가 그려지면 f(x)는 음의 실근 하나와 양의 실근 두 개를 갖게 됩니다. 이때 정수 K가 가질 수 있는..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 5. 08:00

2023년 수능 수학 홀수형 공통 16번 문제입니다. 주관식 문제가 시작되었네요. 로그의 기본만 알면 간단히 풀 수 있는 문제입니다. 로그와 지수의 변환, 로그의 덧셈, 상수의 로그 변환 등의 기본 원리만 이해하면 됩니다. 로그 함수는 지수 함수의 역함수이고 로그 함수의 결과값이 지수가 됩니다. 따라서 상수 2는 로그 밑의 수가 2이므로 밑의 수가 2인 log4로 변환되고 밑의 수가 같은 로그의 덧셈은 곱셈으로 처리됩니다. 따라서 등식이 성립하려면 양변의 로그 위의 수끼리 같아야 하므로 방정식으로 계산하면 됩니다. 이런 문제만 나오면 좋겠습니다. 2023년 수능 수학 홀수형 공통 17번 문제입니다. 적분의 기본만 알면 풀 수 있는 문제입니다. 부정적분으로 상수 C가 필요한데, f(0)=3이라는 것을 문제..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 4. 08:00

2023년 수능 수학 홀수형 공통 15번 문제 풀이입니다. 문제가 점점 점입가경 (漸入佳境)입니다. 요즘 수능 수험생 여러분들 정말 존경합니다. 제가 고3으로 돌아가면 과연 이 문제를 풀 수 있었을까 심하게 의문이 드는 문제들이 연속으로 나와 심하게 고생하고 있습니다. 저는 고3 때 정말 계산하는 기계 같았거든요. 함수를 기하학적으로 이해하기 시작한 것은 대학 때 역학을 배우면서 였습니다. 공업수학에서도 제2차 편미분방정식과 라플라스 정리 등은 그냥 그런대로 잘 버텼었던 것 같습니다. 그런데 단순한 수열 문제를 이렇게 내다니 짧은 시간에 어떻게 풀라고 그러는 것인지 모르겠습니다. 말로 설명하면 정말 길어지겠지만 어쩔 수 없는 것 같습니다. 꼼꼼하게 읽어보시고 천천히 잘 생각해보시기 바랍니다. 이 문제의 ..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 3. 08:00

2023년 수능 수학 홀수형 공통 14번 문제는 다항함수의 수렴과 극한 문제입니다. 문제를 참 꼬아도 이렇게 꼬아 놓을 수 있나 싶었습니다. 학력고사 세대인 저에게는 정말 처음 보는 문제입니다. f(x), g(x), h(x)를 각각 정의하고 구간을 정해준 뒤 참인 것을 고르라고 합니다. 다항함수에 합성함수, 거기에 구간 변화까지 아주 작정을 하고 문제를 낸 것 같습니다. 저는 도저히 뭔 말인지 처음엔 감도 안 잡혀서 그래프로 그려가며 이해했습니다. 결정적으로 이 문제는 f(x)가 어떤 함수인지 알 길이 없다는 점이 핵심입니다. 그러니 -1과 1사이 구간에서는 g(x)도 어떤 모습인지 확인할 길이 없습니다. ㉠은 당연히 h(x)에 x=1을 대입하면 곧바로 수렴으로 값이 3임을 알 수 있으니 참입니다. ㉡은..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 2. 08:00

요즘 수학은 문제를 이해하는 것도 쉽지 않은 것 같습니다. 결국 13번 문제는 약수를 구하는 문제와 동일합니다. n을 2부터 9까지 대입해서 차례로 확인해보면 됩니다. 시그마로 불리는 수열의 합 문제는 보통 무한 급수와 연관되어 많이 나오는데 이 문제는 그런 거 필요 없고 유한 수열에 몇 개 되지 않으니 저처럼 무식하게 확인해보면 됩니다. 단, 이런 방식에서는 실수가 나오기 딱 좋기 때문에 꼼꼼한 성격이 보다 유리합니다. 문제를 꼼꼼하게 읽지 않으면 n이 1보다 크다고 착각할 수도 있어 개수가 다른 결과를 얻을 수도 있으니 주의해야 합니다. 수열이란 일정한 규칙에 따라 순서대로 배열된 수의 열을 말하며, 수의 하나 하나를 항이라고 합니다. 등, 여러가지 수열이 있습니다. 수열 문제에서는 수열의 일반항이나..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 2. 1. 08:00

2023년 수능 수학 홀수형 공통 12번 문제 풀이입니다. 이 문제를 풀면서 얼마나 스트레스를 받았는지 당이 떨어져서 자유시간을 몇 개나 먹었나 모르겠습니다. 사진에도 자유시간 껍데기가 같이 찍혔네요. 제 기억으로는 이 문제를 푸는 데에만 3일 정도 걸렸던 것 같습니다. 퇴근하고 집에 가서 밤 늦게까지 이 문제에만 매달렸던 것 같습니다. 오픈북으로 푸는 제가 이렇게 스트레스를 받는데 수험생 여러분들은 정말 존경스럽습니다. 모두 이해하고 푸신 거 맞죠? 저는 다시 풀라고 하면 또 며칠 걸릴 것 같습니다. 제가 힘들어했던 부분은 굳이 왜 절대값 기호를 썼냐는 것입니다. 마치 f(x)가 항상 양의 값을 갖는다는 착각을 하게 만들어서 거기에 홀딱 넘어가버려 한참을 고생했습니다. 결정적으로 이 문제의 핵심은 함수..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 1. 31. 08:00

2023년 수능 수학 홀수형 공통 11번 문제 풀이입니다. 오랜만에 글을 업로드하는 것 같습니다. 수능이 끝나고 다음날 프린트해서 약 2개월 정도만에 전체를 다 풀었고 순서대로 업로드하겠습니다. 학력고사 세대인 저에게는 처음 접해보는 낯선 문제들도 있어서 공부하면서 푸느라 시간이 오래 걸렸습니다. 심지어 도저히 공부해도 모르겠길래 답을 보면서 공부한 문제도 있었습니다. 엔지니어 아저씨가 이 정도니 고등학생 여러분들은 이미 대단하십니다. 11번 문제는 원과 삼각형의 성질만 알면 됩니다. 원 위의 임의의 점에서 선분을 두 개 긋고 사이각을 이등분하면 이등분된 현과 호는 각각 길이가 같습니다. 원 위의 어떤 점에서도 성립하는 중요한 개념입니다. 그리고 결정적으로 그 유명한 사인 법칙과 코사인 법칙을 아는지를 ..

잡학다식 & 자료 창고 2023. 1. 30. 23:00