[엔지니어가 취미로 푸는 수학] 2025년 수능 수학 홀수형 공통 10번, 11번, 12번 문제 풀이

엔지니어가 취미로 푸는 수학

 

2024년 11월 14일 목요일 2025년도 대학수학능력시험 (수능)이 있었습니다.
 
수험생 여러분들 고생 많으셨습니다!!!
 

 
 
시험을 잘 보신 분들도 계실 테고, 못 보신 분들도 계실 겁니다. 하지만 분명히 말씀 드리고 싶은 것은 "인생은 장기전"이라는 점입니다. 지금 잠시 시험 잘 봐서 좋은 대학 간다고 인생 끝난 것 아니고, 잠시 시험 못봤다고 인생 끝난 것 아닙니다. 점수가 여러분이 아니고, 점수가 여러분을 표현하는 수식어도 아닙니다. 그것만 명심하시면 됩니다. 살아보니 그렇더라고요.
 
올해도 어김없이 50대 엔지니어가 취미로 풀어보는 수능 수학 시리즈를 시작하려고 합니다. 저도 두달 후면 만으로 50세가 됩니다.
 
풀면서 중간중간 업로드할 예정이니 아마도 한두달은 족히 걸릴 것 같습니다. 취미로 수학만 푸는 것이 아니라 영어도 공부하고, 블로그 관리도 하고, 회사도 나가야 하고, 등등 나름 바쁘게 지내고 있기 때문입니다.
 
어제 회사에서 프린트해서 집에 가져와 풀어보니 시작은 쉽다는 느낌을 받았습니다. 뒤로 갈수록 못 푸는 문제도 나올 것이고 어려워 머리를 쥐어짜겠지만 취미로 푸는 만큼 최대한 즐겨보겠습니다.
 
수학은 어렵습니다. 누구에게나 수학은 어렵습니다. 세상 만물의 이치를 표현하는 언어이기 때문입니다. 새로운 언어를 배우는데 쉽게 배워질 리가 없습니다. 그저 한 문제를 풀면서 논리적인 구조를 만들어 답을 찾아가는 과정을 쓰는 학문이라고 생각합니다. 답만 찾아서 쓰는 학문이 아니라는 의미입니다. 그래서 저는 손으로 수학 문제를 푸는 것을 좋아합니다. 
 
작년과 마찬가지로 모든 문제를 다 풀고 나서 전체 통합본을 스캔해서 업로드하겠습니다.
 
자! 여러분 이제 제가 어떻게 풀었는지 함께 보실까요?
 

 

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2025년 수능 수학 홀수형 공통 10번 문제

2025년 수능 수학 홀수형 공통 10번 문제

10번 문제는 삼각함수의 기본 성질을 묻는 문제입니다. cos과 sin 함수값은 제 아무리 곱하고 나눠도 1을 넘지 않습니다. 닫힌 구간이 [0, 2π]이므로 자연수 bx는 2π를 넘을 수 없습니다. 이것만 이해하면 나머지는 단순 산수 문제로 바뀝니다. 문제에서 순서쌍이 주어져서 마치 몇 개의 값을 가질 수 있는 것처럼 해놨지만 사실 한 가지밖에 값을 가질 수 없습니다. 즉, 정리하면 cosbx의 최댓값이 1이니까 f(x)의 최댓값이 13이라면 문제가 단순해진다는 얘기입니다.

 

 

2025년 수능 수학 홀수형 공통 11번 문제

2025년 수능 수학 홀수형 공통 11번 문제

11번 문제는 미분의 기본 성질을 묻는 문제입니다. 매년 단골 문제처럼 나오고 있으니 반드시 기본 이론을 익혀두시기를 바랍니다. 2차든 3차든 곡선을 갖는 함수의 변곡점은 미분해서 0이 되는 곳입니다. 즉, 접선의 기울기가 0이 되는 곳에서 방향이 바뀌게 됩니다.

 

기본적으로 거리를 시간으로 미분한 것이 속도이고, 속도를 시간으로 미분한 것이 가속도입니다. 거리를 시간으로 두 번 미분하면 가속도가 됩니다. 이것만 기억하시면 됩니다.

 

문제에서는 t=2일 때 가속도를 구하는 문제지만, t=2에서 속도를 구하는 문제로 응용할 수도 있습니다. 가속도를 구할 때는 f''(t)로 구하고, 속도를 구할 때는 f'(t)로 구하면 됩니다.

 

모든 문제가 그렇지만 이런 문제도 모르면 한 없이 어렵고, 알면 한 없이 쉽습니다.

 

 

2025년 수능 수학 홀수형 공통 12번 문제

2025년 수능 수학 홀수형 공통 12번 문제

솔직히 이 문제는 못 풀었습니다. 유튜브로 해답을 보고 나서야 이해했습니다. K=1에서 n까지와 K=1에서 n-1까지를 연립해서 푼다는 생각 자체를 못했습니다. 이 문제는 딱 그 스킬만 알면 다음은 쉽습니다. 따라서 저는 문제를 잘못 만들었다고 생각합니다. 학생들이 이런 스킬을 아는지 모르는지를 왜 묻는 것인지 이해가 안됩니다. 수열의 기본 성질을 아는지만 물으면 된다고 생각합니다.

 

물론 누군가는 수열을 풀 때 중요한 스킬이라고 생각할 수도 있습니다. 하지만 누군가는 중요하지 않다고 생각한다면 출제할 때 좀 더 고민했어야 한다고 생각합니다.

 

제가 못 풀었다고 짜증내냐고요? 물론 그런 영향도 완전히 없다고 할 수는 없습니다. 그러나 못 풀었어도 "이 문제 참 잘 만들었다."고 생각한 문제들도 있었습니다. 아무리 봐도 이 문제는 잘 만든 문제라고 보기 어렵습니다.

 

엔지니어가 푸는 수능 수학 문제 풀이는 계속 됩니다.

 

 

 

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